第三次作业 · 附录§
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附录（本阶段）§
矩形波导常用关系（空气 $\varepsilon_{\mathrm r}=1$）§
记 $k=2\pi/\lambda_0=\omega/c$。对 $\mathrm{TE}_{mn}$ 与 $\mathrm{TM}_{mn}$（$m,n$ 不同时为 0；TM 要求 $m,n\ge 1$），截止波数
$$ k_{\mathrm c}=\sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2},\qquad \lambda_{\mathrm c}=\frac{2\pi}{k_{\mathrm c}},\qquad f_{\mathrm c}=\frac{c\,k_{\mathrm c}}{2\pi}. $$
导行条件（$\beta$ 为实数）：$k>k_{\mathrm c}$，等价于 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$ 或 $f>f_{\mathrm c}$（与教材表述一致即可）。
导行时
$$ \beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2},\qquad \lambda_{\mathrm g}=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(\lambda_0/\lambda_{\mathrm c})^2}} $$
（第二个等式为空气常用形式；介质填充时用 $k= k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$ 与相应的 $f_{\mathrm c}$ 改写。）
$\mathrm{TE}_{10}$（$a>b$ 时常为主模）：$\lambda_{\mathrm c,10}=2a$，$f_{\mathrm c,10}=c/(2a)$。
波阻抗（无耗）（与教材一致写法）
$$ Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\eta}{\sqrt{1-(f_{\mathrm c}/f)^2}},\qquad Z_{\mathrm{TM}}=\eta\sqrt{1-(f_{\mathrm c}/f)^2},\qquad \eta=\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}}. $$
图像说明§
| 图像 | 说明 |
|---|---|
| $\mathrm{TE}_{10}$ 色散关系图 | 展示 $f/f_{\mathrm c}$ 变化时 $\lambda_{\mathrm g}/\lambda_0$、$v_{\mathrm p}/c$、$v_{\mathrm g}/c$ 的典型趋势，帮助检查截止附近的极限 |
学习建议§
- 先背熟 $\lambda_{\mathrm c}$ 公式与 $\mathrm{TE}_{10}$、$\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$ 三者 $\lambda_{\mathrm c}$ 的排序对 $a>b$ 典型波导的意义，再做多模计数题（第 4、5、6、10 题一类）。
- 色散题（Lec11～12）用「$\beta(\omega)$ 非线性 $\Rightarrow v_{\mathrm p}\neq$ 常数 $\Rightarrow$ 脉冲展宽」一句话逻辑，再对照教材区分 波导色散 与 材料色散。
- 第 8 题把波导段看成 $\mathrm{TE}_{10}$ 的等效传输线 后，与第二次作业单支节思路同型；务必用 $\lambda_{\mathrm g}$ 算电长度。
- 第 12 题最大功率与击穿场强：不同教材前置系数可能差常数因子，请以教材给定公式定稿；文中给出一种常见量级供自检。
建议：计算题先按 Lec13–16 中「判据 + 代入」写满草稿，再用本附录公式卡复查量纲与极限（$f\to f_{\mathrm c}^+$ 时 $\lambda_{\mathrm g}\to\infty$ 等）。