02 · 微波网络基础与 S 参数§
低频电路喜欢电压、电流；微波网络更喜欢入射波、反射波。原因很简单：端口尺寸和波长可比时，电压电流不再是全局唯一的量。
零基础读前翻译§
网络参数的本质是“黑盒说明书”。你不需要知道盒子里每一毫米场分布，只要知道从端口看进去，它如何反射、如何传输，就能和其他元件组合。
为什么高频更常用 $S$ 参数？因为微波实验里最容易测的是“打进去多少波、反射回来多少波、传过去多少波”。开路电压和短路电流在高频下很难做得理想，反而会引入辐射和寄生效应。
先把四个 $S$ 参数按方向念熟：
- $S_{11}$：1 端口反射。
- $S_{22}$：2 端口反射。
- $S_{21}$：1 到 2 的正向传输。
- $S_{12}$：2 到 1 的反向传输。
下标的读法始终是：后面的端口是入射，前面的端口是出射或反射。
一、等效的基本要求§
微波网络的“等效”不是说内部结构一样，而是说在选定端口、参考面和匹配条件下，外部可观测关系一样。常见等效对象包括：
- 端口电压/电流关系：$Z$、$Y$、$ABCD$ 参数；
- 入射波/反射波关系：$S$ 参数；
- 端口工作特性：输入反射、传输、插损、增益、隔离度等。
端口参考面一旦改变，$S$ 参数相位也会改变，因此题目必须先固定参考面。
本节对“等效”有三个限制，做题和写报告都要先交代：
- 同一个物理结构，不同模式对应不同网络。 矩形波导里 $\mathrm{TE}_{10}$ 和高次模的等效电压、电流、波阻抗都不是同一套数。
- 参考面必须放在均匀传输线段上。 否则端口处还处在不连续区，入射波/反射波没有清楚定义。
- 电压电流是模式等效量。 对非 TEM 波导来说，$U$、$I$ 不是低频导线上的单值电压电流，而是由横向场分布和功率归一化定义出来的端口量。
所以网络法不是丢掉电磁场，而是把“已知模式、已定参考面”的场问题压缩成端口关系。
模式等效电压和电流怎么理解§
对均匀波导段，可以把横向场写成“模式场形 × 轴向幅度”的形式：
$$ \mathbf E_t(x,y,z)\sim \mathbf e_t(x,y)U(z),\qquad \mathbf H_t(x,y,z)\sim \mathbf h_t(x,y)I(z). $$
常数如何取？本节给出的口径是：让等效电压、电流既保持传输功率，又保持该模式的波阻抗关系。这样做以后，一段 $\mathrm{TE}_{10}$ 波导就可以在端口层面像一段双线传输线一样使用 $Z$、$Y$ 或 $S$ 参数。
这一步解释了两个常见疑问：
- 为什么波导明明没有两根导线，还能写 $U$、$I$？因为那是模式归一化后的等效量。
- 为什么换模式以后参数要重算？因为横向场形 $\mathbf e_t,\mathbf h_t$ 和波阻抗都变了。
二、阻抗矩阵§
二端口阻抗矩阵定义为
$$ \begin{bmatrix} V_1\\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12}\\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1\\ I_2 \end{bmatrix}. $$
各元素含义来自开路条件：
| 元素 | 定义口径 | 含义 |
|---|---|---|
| $Z_{11}=V_1/I_1\mid_{I_2=0}$ | 2 端口开路 | 端口 1 输入阻抗 |
| $Z_{22}=V_2/I_2\mid_{I_1=0}$ | 1 端口开路 | 端口 2 输入阻抗 |
| $Z_{21}=V_2/I_1\mid_{I_2=0}$ | 2 端口开路 | 1 到 2 的转移阻抗 |
| $Z_{12}=V_1/I_2\mid_{I_1=0}$ | 1 端口开路 | 2 到 1 的转移阻抗 |
微波频段开路/短路标准不易实现，所以实际测量更常用 $S$ 参数。
本节中的双端口例题仍然有价值：它说明 $Z$、$Y$ 矩阵适合“能用开路/短路边界写电路方程”的场景。本站把它保留为低频等效和网络推导工具，但实验读数统一回到 $S$ 参数。
阻抗参数和 S 参数怎么选§
| 场景 | 更自然的参数 | 原因 |
|---|---|---|
| 低频电路、集中元件 | $Z$、$Y$、ABCD | 电压电流容易定义和测量 |
| 微波二端口实测 | $S$ | VNA 直接测入射/反射/传输波 |
| 多级级联传输线 | ABCD 或传输矩阵 | 级联时矩阵相乘方便 |
| 匹配、回波、插损、隔离 | $S$ | 这些指标本身就是波幅或功率比 |
考试中如果题目给的是 $S$ 参数，就不要先硬转成 $Z$ 参数。只有题目明确要求输入阻抗、开路条件或低频等效时，才考虑 $Z$ 矩阵。
三、散射矩阵§
用 $a_i$ 表示端口 $i$ 的入射波，用 $b_i$ 表示反射/出射波，二端口散射矩阵为
$$ \begin{bmatrix} b_1\\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12}\\ S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}. $$
在其他端口接匹配负载时：
| 元素 | 物理含义 |
|---|---|
| $S_{11}=b_1/a_1$ | 端口 1 输入反射系数 |
| $S_{22}=b_2/a_2$ | 端口 2 输入反射系数 |
| $S_{21}=b_2/a_1$ | 1 到 2 的正向传输 |
| $S_{12}=b_1/a_2$ | 2 到 1 的反向传输 |
VNA 屏幕常显示
$$ S_{ij}[\mathrm{dB}]=20\log_{10}|S_{ij}|. $$
四、无耗、互易、对称网络§
| 条件 | 对 $S$ 矩阵的要求 | 二端口常用结论 |
|---|---|---|
| 无耗 | $S^\dagger S=I$ | 各列功率守恒；例如 $|S_{11}|^2+|S_{21}|^2=1$ |
| 互易 | $S=S^T$ | $S_{12}=S_{21}$ |
| 对称 | 两端口互换后网络不变 | $S_{11}=S_{22}$，若参考阻抗相同通常还满足互易结构的对称关系 |
注意：无耗不等于匹配，互易不等于对称。一个无耗网络可以强反射；一个互易网络可以两端口匹配程度不同。
下列 的条件可以转成检查表：
- 看到“互易”：先写 $S_{12}=S_{21}$；
- 看到“对称”：再写 $S_{11}=S_{22}$；
- 看到“无耗”：用 $S^\dagger S=I$ 检查功率守恒；
- 同时“互易 + 无耗”时，$S$ 矩阵满足酉性，不代表所有端口自动匹配。
这四条最好分开写，别用“无源”一词替代所有性质。
五、接负载后的输入反射§
二端口的 2 端口接反射系数为 $\Gamma_2$ 的负载时，有
$$ a_2=\Gamma_2 b_2. $$
代入散射方程得到端口 1 的输入反射系数
$$ \boxed{ \Gamma_1 =S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_2}{1-S_{22}\Gamma_2} } $$
若网络互易，$S_{12}=S_{21}$，也可写为
$$ \Gamma_1 =\frac{S_{11}-(S_{11}S_{22}-S_{12}^2)\Gamma_2} {1-S_{22}\Gamma_2}. $$
这个式子是第五次作业 Lec24 第 4、5 题的核心。
接负载反射公式怎么推§
不要把
$$ \Gamma_1 =S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_2}{1-S_{22}\Gamma_2} $$
当成孤立公式背。它只有三步：
- 写二端口方程：
$$ b_1=S_{11}a_1+S_{12}a_2,\qquad b_2=S_{21}a_1+S_{22}a_2. $$
- 负载反射给边界条件：
$$ a_2=\Gamma_2 b_2. $$
- 消去 $a_2,b_2$，再令 $\Gamma_1=b_1/a_1$。
物理图像是：端口 1 的反射不只来自 $S_{11}$，还会有一部分波传到端口 2，被负载反射回来，再从端口 2 传回端口 1。分母 $1-S_{22}\Gamma_2$ 表示这条来回反射路径会重复多次。
六、一段理想传输线的 S 矩阵§
若参考阻抗等于传输线特性阻抗 $Z_0$，长度为 $l$ 的无耗理想线两端都匹配，因此
$$ S_{11}=S_{22}=0,\qquad S_{21}=S_{12}=e^{-j\beta l}. $$
所以
$$ \boxed{ [S]= \begin{bmatrix} 0 & e^{-j\beta l}\\ e^{-j\beta l} & 0 \end{bmatrix} } $$
它只引入相移，不引入反射。
七、工作特性参量（教材 Ch6 口径）§
二端口网络除 $S$ 矩阵元素外，教材还定义一组工作特性参量。测量时输出端接匹配负载（$\Gamma_L=0$），从输入端读数。
| 参量 | 定义 | 与 $S$ 的关系 |
|---|---|---|
| 插入反射系数 | 输出口匹配时，输入端反射系数 | $\Gamma_i=S_{11}$ |
| 插入驻波比 $\rho$ | 输出口匹配时，输入端驻波比 | $\rho=(1+|S_{11}|)/(1-|S_{11}|)$ |
| 电压传输系数 $T$ | 输出口匹配时，$b_2/a_1$ | $T=S_{21}$ |
| 插入相移 $\theta$ | 输出口匹配时，$b_2$ 与 $a_1$ 的相位差 | $\theta=\arg S_{21}$ |
| 插入衰减 $A$ | 输出口匹配时，输入功率与负载吸收功率之比 | $A=1/|T|^2=1/|S_{21}|^2$ |
简答要点：
- 五个量都在 2 端口接匹配负载 的前提下定义；若负载不匹配，不能直接把读数当作上表中的“插入”参量。
- 插入驻波比 $\rho$ 与 $|S_{11}|$ 一一对应，不是沿线驻波比。
- 插入衰减 $A$ 是功率比；若用 dB 表示，功率用 $10\log$，与 $S_{21}$ 的 $20\log$ 幅度 dB 不要混。
Mini 自检
Q：为什么插入反射系数就是 $S_{11}$？
答：匹配负载时 $a_2=0$，散射方程 $b_1=S_{11}a_1+b_2$ 中 $b_2=0$，故 $\Gamma_i=b_1/a_1=S_{11}$。
八、S 参数测量口径§
本节介绍了互易双端口的三点/多点测量思路：在 2 端口接不同已知负载，观察 1 端口输入反射，从而反推出网络的 $S$ 参数。现在实验室更常用 VNA 直接测，但背后的边界条件没变。
三点测量法：互易网络 $S_{21}=S_{12}$，终端 $\Gamma_L$ 时
$$ \Gamma_{\mathrm{in}}=S_{11}+\frac{S_{12}^2\Gamma_L}{1-S_{22}\Gamma_L}. $$
分别在 2 端口接短路（$\Gamma_L=-1$）、开路（$\Gamma_L=+1$）、匹配（$\Gamma_L=0$），测得 1 端口 $\Gamma_s$、$\Gamma_o$、$\Gamma_m$，解得
$$ S_{11}=\Gamma_m,\quad S_{12}^2=\frac{2(\Gamma_s-\Gamma_m)(\Gamma_o-\Gamma_m)}{\Gamma_s-\Gamma_o},\quad S_{22}=\frac{\Gamma_o-2\Gamma_m+\Gamma_s}{\Gamma_o-\Gamma_s}. $$
题解：Lec24 · 第 4 题 · 。
写实验或审题时按这个口径检查：
| 条件 | 含义 | 写错后果 |
|---|---|---|
| 其它端口匹配 | 测 $S_{ij}$ 时，未激励端口应让 $a=0$ | 未测端口反射会串回结果 |
| 参考面固定 | 校准面就是网络端口面 | 相位被电缆或转接头多算一段 |
| 端口编号固定 | 下标按“后入前出” | 把直通、耦合、隔离读反 |
| 幅相都保留 | $S$ 是复数 | 只看 dB 会漏掉电长度和相位平衡 |
这也是实验二功分器、定向耦合器页面反复要求“先写端口接法”的原因。
九、传输矩阵什么时候更合适§
若多个二端口级联，$S$ 参数物理直观，但级联计算不如传输矩阵方便。传输矩阵把一端的波变量写成另一端的线性组合，多个网络串联时直接矩阵相乘。
本站处理策略：
- 单个器件、VNA 读数、匹配/隔离/插损：优先 $S$ 参数；
- 多段二端口级联、滤波器链路、传输线段相乘：可转成 ABCD 或传输矩阵；
- 最终报告仍建议回到 $S_{11}$、$S_{21}$、插损、回损这些可测指标。
草稿纸上怎么写二端口网络§
网络题草稿纸先画 端口 1、2，标 $a_1,b_1,a_2,b_2$，再选参数族：
| 题型 | 草稿先写什么 | 典型落点 |
|---|---|---|
| 散射方程 | $b_1=S_{11}a_1+S_{12}a_2$，$b_2=S_{21}a_1+S_{22}a_2$ | 接负载、求输入反射 |
| 接负载 | $a_2=\Gamma_L b_2$，代入消元 | $\Gamma_{\mathrm{in}}=S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_L}{1-S_{22}\Gamma_L}$ |
| 理想传输线 | $S_{11}=S_{22}=0$，$S_{21}=e^{-j\beta l}$ | 只引入相移 |
| 性质判据 | 无耗 / 互易 / 对称分开查 | 无耗 $\neq$ 互易；分别对应不同矩阵条件 |
审题时先问：题目给的是 $Z$ 还是 $S$？VNA 实测统一用 $S$。多端口题在草稿边缘写 未测端口接 $50\,\Omega$，否则 $a_i\neq0$ 破坏定义。
dB 换算：$S_{ij}$ 幅度用 $20\log|S_{ij}|$；功率比用 $10\log$。
一致性复核§
本页已按 第五次作业 · Lec24 微波网络基础 复核：$Z$ 参数适合电压电流边界清楚的低频式网络描述；$S$ 参数适合微波端口测量，因为它直接使用入射波和出射波。两套参数不是互相替代的记号表，而是不同实验边界下的描述。
无耗、互易、对称的判据要落在同一个 $S$ 矩阵上检查；接负载后的输入反射公式必须注明负载反射系数和参考面。多端口题默认未激励端口匹配，否则散射方程的简化形式不成立。
Mini 自检§
Q1：$S_{21}$ 和 $S_{12}$ 分别表示什么？
答：$S_{21}$ 是从端口 1 入射、从端口 2 出射的正向传输；$S_{12}$ 是从端口 2 入射、从端口 1 出射的反向传输。读下标时按“后入前出”记忆。
Q2：为什么微波测量更常用 $S$ 参数，而不是 $Z$ 矩阵？
答：$Z$ 矩阵元素需要开路条件，例如 $I_2=0$。高频开路会有寄生电容、辐射和边缘场，不容易实现。VNA 则能直接在匹配条件下测入射波、反射波和传输波，所以 $S$ 参数更稳定、更贴近实验。
Q3：无耗、互易、对称分别对应什么条件？
答：无耗对应功率守恒，即 $S^\dagger S=I$；互易对应正反传输相同，即 $S=S^T$，二端口里 $S_{12}=S_{21}$；对称对应两端口互换后网络不变，常见结论是 $S_{11}=S_{22}$。三者不能互相替代。
Q4：一段匹配无耗传输线为什么 $S_{11}=0$ 但 $S_{21}$ 不是 1？
答：两端参考阻抗等于传输线特性阻抗时，没有反射，所以 $S_{11}=S_{22}=0$。但波通过长度 $l$ 会积累相位，因此 $S_{21}=e^{-j\beta l}$，幅度为 1、相位不为 0。若只看 dB 幅度，它是 0 dB；若看相位，它体现电长度。