第 7 题：同轴线只传输 TEM 模的条件与最短工作波长§

对应知识点：02-同轴线TEM与高阶模

题目：欲在同轴线中只传输 TEM 波型，其条件是什么；若一个空气填充的同轴线，其内导体的外半径 \(a=5\ \mathrm{cm}\)，外导体的内半径 \(b=5.6a\)，求只传输 TEM 波型时，最短的工作波长应等于多少？

对应知识点：双导体 TEM 模、同轴线高次模截止、最低高次模近似、只传 TEM 的工作波长/频率窗口。

图：TEM 本身无截止，但同轴线仍有高次模。要“只传 TEM”，工作波长必须大于最低高次模的截止波长，本题用 \(\lambda_{\mathrm c}\approx\pi(a+b)\) 得到约 \(1.04\,\mathrm m\)。

一、前置知识§

同轴线是双导体传输线，可以传输无截止频率的 TEM 模。但同轴线也存在 TE、TM 高次模；若频率过高，高次模达到截止条件后也会传播。

空气同轴线最低高次模通常为 \(\mathrm{TE}_{11}\)，工程教材常用近似式为

\[ \lambda_{\mathrm c,\mathrm{TE}_{11}}\approx\pi(a+b). \]

二、分析思路§

只传输 TEM 模，就是要求所有高次模都截止。只需工作频率低于最低高次模截止频率，或工作波长大于最低高次模截止波长。题中已给 \(a=5\ \mathrm{cm}\)、\(b=5.6a\)，代入 \(\pi(a+b)\) 即可。

三、标准解答§

只传输 TEM 模的条件为

\[ f<f_{\mathrm c,1}, \]

等价地

\[ \lambda_0>\lambda_{\mathrm c,1}. \]

其中 \(\lambda_{\mathrm c,1}\) 是最低高次模的截止波长。由题设

\[ a=5\ \mathrm{cm},\qquad b=5.6a=28\ \mathrm{cm}. \]

因此

\[ \lambda_{\mathrm c,\mathrm{TE}_{11}} \approx \pi(5+28)\ \mathrm{cm} =103.7\ \mathrm{cm} =1.04\ \mathrm{m}. \]

所以只传输 TEM 波型时，工作波长应满足

\[ \lambda_0>1.04\ \mathrm{m}. \]

题目所问“最短的工作波长”可取为截止边界值

\[ \boxed{\lambda_{\min}\approx1.04\ \mathrm{m}}. \]

对应最高工作频率约为

\[ f<\frac{c}{1.04\ \mathrm{m}}\approx2.9\times10^8\ \mathrm{Hz} \approx 290\ \mathrm{MHz}. \]

四、结论与易错点§

\[ \boxed{\lambda_0>1.04\ \mathrm{m}\quad\text{时可近似保证只传输 TEM 模。}} \]

补充：若直接求解同轴线 TE/TM 高次模的贝塞尔函数特征方程，本尺寸下最低高次模仍为 \(\mathrm{TE}_{11}\)，截止波长约为 \(1.02\ \mathrm{m}\)。课堂作业通常采用 \(\lambda_{\mathrm c}\approx\pi(a+b)\) 的工程近似，所以标准数值写作 \(1.04\ \mathrm{m}\) 更符合教材算法。

易错点：TEM 模本身无截止频率，但“只传 TEM”仍受高次模截止条件限制。