第三次作业（Lec13–Lec16）第 8 题：BJ-100，$\lambda_0=32\,\mathrm{mm}$，$\rho=3$，第一波节距负载 $9\,\mathrm{mm}$§
对应知识点：05-波导段反射驻波与匹配
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$z$ 与 $\Gamma(z)$ 的约定以 符号与导读 及第二次作业一致为准。
一、前置知识§
1. 专有名词§
- 等效传输线：$\mathrm{TE}_{10}$ 单模时，可沿传播方向等效为无耗均匀线：用 $Z_{\mathrm{TE}}$ 与 $\beta=2\pi/\lambda_\mathrm{g}$ 描述；电长度、螺钉位置一律用 $\lambda_\mathrm{g}$ 而非 $\lambda_0$。
- $\rho$（驻波比） ：$\rho=(1+|\Gamma|)/(1-|\Gamma|)$，故 $|\Gamma|=(\rho-1)/(\rho+1)$。
- $\Gamma(z)$：负载向源时 $\Gamma(z)=\Gamma_L\,\mathrm e^{-\mathrm j 2\beta z}$（本题沿用 符号与导读 的方向约定）。
- 归一化导纳 $\bar Y = Y Z_{\mathrm{TE}}$（或课程定义的特性参考）。
- 单螺钉匹配：在线上找 $\operatorname{Re}\bar Y=1$ 的截面，再并联归一化电纳 $b$ 使总 $\bar Y\approx 1$。
2. 核心公式§
- $\lambda_\mathrm{g}=\lambda_0\big/\sqrt{1-(f_{\mathrm c,10}/f)^2}$，$f=c/\lambda_0$，$f_{\mathrm c,10}=c/(2a)$ — 求 $\beta$。
- $\bar Y = (1-\Gamma)/(1+\Gamma)$（若用同一归一化定义，与导读一致）。
- 第一波节（电场）距负载的 $z$ 与 $\Gamma$ 的辐角关系用于定解。
二、分析思路§
- 用 $\lambda_0=32\,\mathrm{mm}$ 与 BJ-100 各模 $\lambda_\mathrm c$ 比，确认单模 $\mathrm{TE}_{10}$。
- 由 $\lambda_0,a$ 求 $f$、$f_{\mathrm c,10}$、$\lambda_\mathrm{g}$、$\beta$。
- 由 $\rho$ 得 $|\Gamma|$；由「距负载 9 mm 为第一波节」定 $\Gamma_L$ 或 $\bar Y_L$，并与 $z$ 方向约定自洽。
- 单螺钉匹配：在 $0<z< \lambda_\mathrm{g}/2$ 内搜第一个 $\operatorname{Re}\bar Y=1$ 的 $d$，及所需 $b_{\mathrm{stub}}$。
三、标准解答§
（1）传输波型§
$\lambda_{\mathrm c,10}=45.72\,\mathrm{mm} > \lambda_0$；$\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$ 等 $\lambda_\mathrm c < 32\,\mathrm{mm}$。故
$$ \boxed{\text{仅 }\mathrm{TE}_{10}\text{ 单模传输}}. $$
（2）波导参数与归一化负载导纳§
$$ f = \frac{c}{\lambda_0} \approx 9.369\,\mathrm{GHz}, \qquad f_{\mathrm c,10} = \frac{c}{2a} \approx 6.557\,\mathrm{GHz}, $$
$$ \lambda_\mathrm{g} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(f_{\mathrm c,10}/f)^2}} \approx 44.80\,\mathrm{mm}, \qquad \beta = \frac{2\pi}{\lambda_\mathrm{g}}. $$
等效无耗线：$\rho=3\Rightarrow|\Gamma|=(\rho-1)/(\rho+1)=0.5$。由第一波节距负载 $z=9\,\mathrm{mm}$ 与 $\Gamma(z)=\Gamma_L\mathrm e^{-\mathrm j2\beta z}$ 自洽，得：
$$ \boxed{\bar Y_L \approx 0.363 + \mathrm j\,0.280}. $$
（$\bar Y = Y Z_{\mathrm{TE}}$；波节位置和 $\Gamma$ 相位必须使用同一 $z$ 方向约定。）
（3）单螺钉（并联电纳）匹配§
在负载向源方向，第一个使 $\operatorname{Re}\bar Y_{\mathrm{line}}=1$ 的截面距离负载约
$$ \boxed{d \approx 5.27\,\mathrm{mm}},\qquad \boxed{b_{\mathrm{stub}} \approx -1.15} $$
（在 $\bar Y_{\mathrm{line}}\approx 1+\mathrm j1.15$ 处并联 $b_{\mathrm{stub}}=-1.15$ 使总导纳 $\approx 1$。另有周期解如 $d\approx 12.7\,\mathrm{mm}$，工程上常取最靠近负载的 $d$。螺钉深度与等效电纳大小需通过实际结构标定。）
图示§
图：先确认单模，再把 $\mathrm{TE}_{10}$ 波导段等效为无耗线。$\rho$ 与第一波节位置用于反推出 $\bar Y_L$，随后在 $\operatorname{Re}\bar Y=1$ 的截面用并联电纳补偿虚部。
四、与主册/他题衔接§
- $\lambda_0=32\,\mathrm{mm}$ 的单模判据同 第4、9题。