02 · 同轴线 TEM 与高阶模§
本节先抓住一句话§
同轴线是双导体结构，所以可以传 TEM 模——而且 TEM 模没有截止频率。但当频率高到一定程度，第一个 TE 模（$\mathrm{TE}_{11}$）会开始传，这就是同轴线的工作上限。
图：TEM 模从低频一直存在；“只传 TEM”的限制不是 TEM 自己截止，而是要让第一个高阶模 $\mathrm{TE}_{11}$ 仍低于截止。
零基础读前翻译§
同轴线可以先想成“一根内导体 + 一个外金属管”。这两个导体之间可以建立电压差，所以横截面里能形成稳定电场，TEM 模就有了存在条件。
本节只要先分清两条线：
- TEM 主模从直流附近一路存在，没有自己的截止频率。
- 高频上限来自高阶模，最先需要防的是同轴里的 $\mathrm{TE}_{11}$。
因此题目问“同轴线能不能用到某个频率”时，不能只说 TEM 无截止。还要检查工作波长是否比 $\pi(a+b)$ 长；足够长时高阶模仍截止，同轴才近似只传 TEM。
为什么双导体能传 TEM§
TEM 模的定义是 $E_z=0$ 且 $H_z=0$，电磁场只在横截面里。这种场要求横截面里能找到一个静电式势函数 $\varphi(x,y)$ 使得 $\mathbf E_\perp=-\nabla_\perp\varphi$，并且这个势在两个导体上分别取常数（不同值）。
- 矩形/圆波导只有一个导体边界，全空间势必须是常数，对应 $\mathbf E\equiv 0$，不能有 TEM。
- 同轴线有内外两个导体，可以让内外取不同电位，势函数才有意义，TEM 模成立。
- 微带线表面也是双导体（带子 + 接地板），但不是均匀填充（上方空气、下方介质），TEM 严格上不成立，只能是"准 TEM"——下一节讲。
同轴线的 TEM 参数§
同轴线内导体外半径 $a$，外导体内半径 $b$（$a<b$），介质为 $\varepsilon_r$、$\mu_r=1$。
特性阻抗（标准结论）：
$$ Z_c=\frac{\eta_0}{2\pi\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac{b}{a}\approx\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac{b}{a}\ \Omega. $$
相速：
$$ v_p=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}, $$
和自由空间介质相同——TEM 没有结构色散。
工程常见值：$\varepsilon_r=2.1$（聚四氟乙烯）、$Z_c=50\,\Omega$ 时 $b/a\approx 3.36$。
串讲口径：TEM 无截止（$k_{\mathrm c}=0$，$\beta=k$，$\lambda_{\mathrm g}=\lambda$，$v_{\mathrm p}=v_{\mathrm g}=v$）。单模条件 $\lambda_0>\pi(a+b)$。兼顾功率容量与衰减时取 $b/a\approx2.3$ 得空气填充 $Z_0\approx50\,\Omega$（串讲数值，与上式 $3.36$ 为不同折中目标）。
TE/TM 高阶模与上限频率§
频率升高时，同轴线也会出现高阶模。最低的 TE 模是 $\mathrm{TE}_{11}$，其截止波长按教材常用近似为
$$ \lambda_{\mathrm c,\mathrm{TE}_{11}}\approx \pi(a+b). $$
对应截止频率
$$ f_{\mathrm c,\mathrm{TE}_{11}}\approx\frac{c}{\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}}. $$
要保证只传 TEM、抑制所有高阶模，工作波长必须
$$ \lambda_0>\lambda_{\mathrm c,\mathrm{TE}_{11}}\approx \pi(a+b), $$
即
$$ \boxed{\lambda_{\min}=\pi(a+b)}. $$
这个 $\lambda_{\min}$ 就是同轴线的"最短工作波长"或"TEM 单模上限"。
直觉解释 $\pi(a+b)$§
同轴线的 $\mathrm{TE}_{11}$ 横向场分布近似在内外导体之间形成一个"半周向驻波"。半个周向波长大致就是平均周长 $\pi(a+b)$ 的一半？不对——更直观的算法是：
- 内外导体平均圆周 $C_{\mathrm{avg}}=2\pi(a+b)/2=\pi(a+b)$。
- $\mathrm{TE}_{11}$ 在方位上是一个完整周期变化，对应一个"完整波长"恰好绕一圈。
- 所以截止波长就是这个平均周长。
记不住推导也没关系，背 $\pi(a+b)$ 即可——绝大多数题目就是直接代这个公式。
加大 $b/a$ 的代价§
要扩展单模带宽（提高 $\lambda_{\min}$ 阈值），需要减小 $a+b$；同时为了维持 $Z_c=50\,\Omega$，$b/a$ 要保持不变，所以 $a$ 和 $b$ 都按比例缩小。
带来的副作用： - 内导体直径变小 $\Rightarrow$ 电流密度上升 $\Rightarrow$ 导体损耗增加。 - 击穿功率下降（间隙变小）。 - 加工和装配公差更紧。
所以同轴线的高频应用上限是个工程综合取舍，不是单纯的电磁约束。
例题套路§
题目给 $a$、$b$（或 $b/a$）和 $\varepsilon_r$，问"只传 TEM 的最短工作波长 / 最高工作频率"：
- 直接套 $\lambda_{\min}=\pi(a+b)$（介质内 $\lambda$）。
- 若题目问的是"自由空间波长"或频率，注意把介质相速换算回去：$\lambda_{0,\min}=\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}$，或 $f_{\max}=c/[\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}]$。
- 若题目同时给 $Z_c$ 要求，先用 $Z_c$ 公式反算 $b/a$，再代入。
草稿纸上怎么判同轴 TEM 区§
同轴题草稿纸左上角先写 双导体，再分 TEM 与高阶模两条链：
| 链 | 写什么 | 判据 |
|---|---|---|
| TEM | $Z_c=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac{b}{a}$，$v_p=c/\sqrt{\varepsilon_r}$ | 理想均匀填充、主模工作 |
| 高阶上限 | $\lambda_{\min}=\pi(a+b)$（介质内波长） | 工作 $\lambda>\lambda_{\min}$ 才可能激发 $\mathrm{TE}_{11}$ 等 |
操作顺序：
- 先确认结构：有内外导体 → 可讨论 TEM；不要与单导体圆波导混淆。
- 写绝对尺寸：$a,b$ 或 $a+b$。只给 $b/a$ 不够判 $\lambda_{\min}$，还要知道 $a+b$。
- 换算波长口径：题目给自由空间 $\lambda_0$ 时，介质内比较用 $\lambda_0/\sqrt{\varepsilon_r}$，或先算 $f_{\max}=c/[\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}]$。
- 结论分层：TEM 无截止 ≠ 无限高频；超过 $\lambda_{\min}$ 高阶模出现，单模带宽终结。
TEM 区不要用波导 $\beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2}$；同轴 TEM 相速与频率无关（理想无色散介质）。
易错点§
- 把同轴线当成单导体——结果就是漏掉 TEM、把 $\mathrm{TE}_{11}$ 当主模，全错。
- 忘记 $\lambda_{\min}$ 用的是介质中的波长，把自由空间 $\lambda_0$ 直接代——要乘 $\sqrt{\varepsilon_r}$。
- 看到"同轴线没有截止频率"就以为可以无限高频用——TEM 没有截止，但 TE/TM 高阶模会从 $\mathrm{TE}_{11}$ 起出现，单模带宽就此终结。
- 忘了 TEM 没有色散——同轴线 TEM 模 $v_p$ 与频率无关，不要套波导的 $\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}$。
一致性复核§
本页已按 第四次作业 · Lec19-20 第 7 题 复核：理想均匀同轴线 TEM 主模无截止，最高工作频率由最低高阶模近似门槛限制，作业采用 $\lambda_{\min}=\pi(a+b)$ 口径。
TEM 参数如 $Z_c$、$v_p$、$\lambda$ 只在同轴结构均匀填充、主模工作时直接使用。若频率接近高阶模门槛，不能再把同轴线简单当成一维无色散长线。
Mini 自检§
Q1：为什么 TEM 模在矩形波导里不存在，但在同轴线里存在？
答：矩形波导只有一个封闭金属边界，横截面静电势只能是常数，非零横向电场无法成立；同轴线有内、外两个导体，可以让内导体和外导体取不同电位，横截面里就能形成从内到外的电场。因此同轴线满足 TEM 模的拓扑条件，矩形波导不满足。
Q2：$a=1$ mm、$b=3.5$ mm、$\varepsilon_r=2.1$ 的同轴线，单模工作时最高自由空间频率约多少？
答：先用高阶模近似截止条件
$$ f_{\max}\approx\frac{c}{\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}}. $$
代入 $a+b=4.5\,\mathrm{mm}$、$\sqrt{2.1}\approx1.45$：
$$ f_{\max}\approx \frac{3.0\times10^8}{\pi\times4.5\times10^{-3}\times1.45} \approx 1.46\times10^{10}\,\mathrm{Hz} =14.6\,\mathrm{GHz}. $$
所以单模 TEM 工作的最高自由空间频率约为 $14.6\,\mathrm{GHz}$，实际设计还要留裕量。
Q3：若把 $a$、$b$ 同时放大 2 倍，$Z_c$ 怎么变？$\lambda_{\min}$ 怎么变？
答：$Z_c$ 不变，因为
$$ Z_c=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac{b}{a} $$
只依赖比例 $b/a$，同时放大不会改变比例。$\lambda_{\min}\approx\pi(a+b)$ 会变成原来的 2 倍，对应最高单模频率变成原来的一半。
Q4：同轴线 TEM 模有没有色散？为什么？
答：理想均匀同轴线的 TEM 模没有结构色散。TEM 模没有截止波数，传播常数满足
$$ \beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}, $$
与频率成正比，所以相速 $v_p=\omega/\beta=1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ 为常数。实际电缆的损耗、介质频散和连接器不连续会带来工程上的频率依赖，但那不是理想 TEM 结构色散。
相关链接§
- 上一节：01 · 圆波导模式与贝塞尔根
- 下一节：03 · 微带线准 TEM 与有效介电常数
- 作业：第四次作业 · Lec19-20 同轴/微带 第 7 题
- 对照 TEM 概念：空心波导没有 TEM