第三次作业 · 符号约定与导读§
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符号约定与读前说明§
- 真空光速记为 $c$（数值计算可取 $c\approx 3.00\times 10^8\,\mathrm{m/s}$）。
- 空气填充时，若无特别说明，介质近似为 $\varepsilon_{\mathrm r}=1$、$\mu_{\mathrm r}=1$，本征阻抗 $\eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx 120\pi\,\Omega$。
- 矩形波导宽边尺寸 $a$、窄边 $b$，通常 $a>b$；坐标与教材一致（常见为 $x\in[0,a]$、$y\in[0,b]$、$z$ 为传播方向）。
- 工作波长 $\lambda$（或 $\lambda_0$）：无界介质或 TEM 近似下由 $f$ 决定的波长；空气中常写 $\lambda_0=c/f$。
- 截止波数 $k_{\mathrm c}$、截止角频率 $\omega_{\mathrm c}$、截止频率 $f_{\mathrm c}$、截止波长 $\lambda_{\mathrm c}$：使某模能在波导内导行（传播常数 $\beta$ 为实数）的最低频率条件；对给定模，$\lambda<\lambda_{\mathrm c}$（或 $f>f_{\mathrm c}$）时该模可传播（具体等式形式以教材为准）。
- 相位常数（导行波沿 $z$）$\beta$，波导波长 $\lambda_{\mathrm g}=2\pi/\beta$；无耗时空气填充 $\mathrm{TE}$/$\mathrm{TM}$ 模常用
$$ k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda_0}\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}} $$
（$k$ 为介质中的波数；$k_{\mathrm c}$ 仅由横截面几何与模指数决定。） - 相速 $v_{\mathrm p}=\omega/\beta$，群速 $v_{\mathrm g}=\mathrm d\omega/\mathrm d\beta$；无耗色散媒质中常用关系 $v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2/\varepsilon_{\mathrm r}$（对空气 $\varepsilon_{\mathrm r}=1$ 即 $v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}\approx c^2$，以教材推导为准）。 - 波阻抗：$Z_{\mathrm{TE}}$、$Z_{\mathrm{TM}}$ 记号与教材一致；$\mathrm{TE}_{10}$ 主模场分量下标 $(E_y,H_x)$ 等以所用教材为准。
与「长线理论」章的关系§
- 均匀无耗传输线上：$\beta_{\mathrm{line}}=2\pi/\lambda$，反射系数 $|\Gamma|$、驻波比 $\rho$ 的定义与波导中某一固定模下沿轴向的驻波现象可类比；但波导中色散使 $\beta(\omega)$ 非线性，$\lambda_{\mathrm g}\neq\lambda_0$。
- 第二次作业 中的 $z$ 自负载向源、并联支节匹配公式，在 Lec13–16 第 8 题 对 $\mathrm{TE}_{10}$ 等效传输线 仍可使用：此时特性阻抗取该模的 $Z_{\mathrm{TE}}$，相位常数取 $\beta$（波导），波长取 $\lambda_{\mathrm g}$。
如何阅读本文§
每道计算题推荐顺序：① 题目复述 → ② 判据与公式 → ③ 代入与数值 → ④ 标准解答（结论）。Lec13–Lec16 的按题页面与上述对应为：一、前置知识；二、分析思路；三、标准解答；主册为提要和链向分题。概念题给出可直接背诵的要点提纲，推导题（如 $\mathrm{TM}_{11}$）按教材顺序写「从假设到边界条件」的完整骨架；细节请用教材核对符号。
题面说明：具体数值与表述以各题 「题目复述」 为准；若与印发材料有出入，以你班最新版为准。
本阶段易错速览§
- 传播条件与 $\lambda_{\mathrm c}$ 的不等式方向：先写对该模的 $\lambda_{\mathrm c}$，再判断 $\lambda<\lambda_{\mathrm c}$ 还是 $f>f_{\mathrm c}$，不要与传输线「低频似稳」直觉混淆。
- $\mathrm{TE}_{m0}$ 与 $\mathrm{TM}_{mn}$：TM 模要求 $m\ge 1,\ n\ge 1$；$\mathrm{TE}_{m0}$ 可存在（$n=0$）。
- $\mathrm{TE}_{11}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 在矩形波导中 $k_{\mathrm c}$ 相同，计数「可能存在几种波型」时通常 各算一种。
- $\lambda_{\mathrm g}$、$v_{\mathrm p}$、$v_{\mathrm g}$ 必须按 该工作频率下 的 $\beta(\omega)$ 计算；不可把自由空间 $\lambda_0$ 直接当作导行波波长。
- 介质全填充：$k$ 与 $f_{\mathrm c}$ 同时按 $\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$ 缩放，$\lambda_{\mathrm c}$ 对同一几何同一模往往变为 $\lambda_{\mathrm c,\,air}/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$（以教材为准）。
- 螺钉匹配（第 8 题）：先确认 单模 与等效 $Z_0$，再在 $\bar y$ 平面上用 $g=1$ 条件找接入位置；螺钉提供 并联电纳。
图像阅读提示§
波导图不要只看曲线，要先看三个层次：横截面决定 $k_{\mathrm c}$，频率决定 $\beta$，$\beta$ 再决定 $\lambda_{\mathrm g}$、$v_{\mathrm p}$ 和 $v_{\mathrm g}$。只要抓住这条链，截止、色散、单模范围和匹配题就能统一起来。