第二次作业 · Lec08–09 · 第 6 题§

对应知识点：03-并联支节匹配

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说明：沿线 $\bar Y$ 变换公式与单支节题同形，见第 4 题；$\lambda/4$ 与 $\bar Z\leftrightarrow\bar Y$ 见 Lec06 分册第 4 题。第 7 题为并+串混合拓扑，勿与本题「两并联」混用。

第 6 题§

（对应大纲 Lec08–09 作业 第 6 题；该讲教材章节 §1.6。）

题目复述§

$Z_L=(50+\mathrm{j}100)\,\Omega$，主线与支线 $Z_0=100\,\Omega$；双短路支节：第一支节距负载 $d_1=\lambda/4$，两支节间距 $d_2=\lambda/8$，均与主线并联。求 $l_1$、$l_2$。

详细思路§

工程/物理目标：用 两个并联支节 与 固定间距 $d_2$ 增加调节自由度，避免单支节在某些负载下 达不到 $g=1$ 的尴尬；代价是存在盲区（部分负载无解或需改 $d_1,d_2$）。

双支节：在第一个结点用 $l_1$ 调导纳，经 $d_2$ 线段后在第二个结点用 $l_2$ 使总导纳匹配 $Y_0$。
$\lambda/4$ 段使阻抗↔导纳互换（见 Lec06-4）。

思路叙述：

（$\lambda/4$ 与 $\bar Z\leftrightarrow\bar Y$ 关系见 Lec06 第 4 题。）负载经 $\lambda/4$ 到第一支节处，算 $\bar Y$；加 $l_1$ 的短路线电纳；经 $\lambda/8$ 变换；在第二结点加 $l_2$ 使 $\bar Y_{\mathrm{in}}=1$。

双并联短路支节沿线间距 $d_1$、$d_2$ 示意

图：两支节均并联在主线同一导体上；本题中 $d_1=\lambda/4$、$d_2=\lambda/8$ 为已知，求 $l_1,l_2$。

解法一：公式（解析）§

一步步解答§

归一化负载 $\bar Z_L=(50+\mathrm{j}100)/100=0.5+\mathrm{j}1$。

经 $d_1=\lambda/4$ 到第一支节截面（未并支节前） 对无耗线有 $Z(\lambda/4)=Z_0^2/Z_L$（纯电阻负载时的「四分之一波长线阻抗倒置」公式的推广形式），故

$$ \bar Z(\lambda/4)=\frac{Z_0}{Z_L}=\frac{1}{\bar Z_L}=0.4-\mathrm{j}0.8, $$

$$ \bar Y(\lambda/4)=\frac{1}{\bar Z(\lambda/4)}=0.5+\mathrm{j}1.0. $$

（不要把「$\lambda/4$ 旋转」误记成「$\bar Y=\bar Z_L$」；上式由 $Z(\lambda/4)=Z_0^2/Z_L$ 推出。）

并上第一短路支节 只改电纳：记归一化支节电纳为 $\mathrm{j}b_s=-\mathrm{j}\cot\beta l_1$，则

$$ \bar Y_1'=0.5+\mathrm{j}(1+b_s). $$

再经 $d_2=\lambda/8$ 到第二结点前方：记 $t=\tan(\beta d_2)=\tan(\pi/8)=\sqrt{2}-1\approx 0.41421356$，归一化导纳满足与第 4 题同形的 沿线公式

$$ \bar Y_2=\frac{\bar Y_1'+\mathrm{j}t}{1+\mathrm{j}\bar Y_1' t}. $$

令 $p=1+b_s=1-\cot\beta l_1$（即 $\bar Y_1'=0.5+\mathrm{j}p$）。把 $\bar Y_1'$ 代入上式，分母写成

$$ D=1+\mathrm{j}\bar Y_1' t=(1-pt)+\mathrm{j}\,0.5t, $$

分子

$$ N=0.5+\mathrm{j}(p+t). $$

与第 4 题同一技巧：$\mathrm{Re}\,\bar Y_2=\mathrm{Re}(N/D)=\dfrac{\mathrm{Re}(N D^\ast)}{|D|^2}$，其中

$$ \mathrm{Re}(N D^\ast)=0.5(1-pt)+(p+t)(0.5t)=0.5(1+t^2), $$

（交叉项 $-0.5pt+0.5pt$ 相消，余 $0.5+0.5t^2$）。第二支节并联短路前须 $\mathrm{Re}\,\bar Y_2=1$（落到 $g=1$），故

$$ \frac{0.5\,(1+t^2)}{(1-pt)^2+(0.5t)^2}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad (1-pt)^2+(0.5t)^2=0.5(1+t^2). $$

代入 $t^2=\tan^2(\pi/8)=3-2\sqrt{2}$，上式化为关于 $p$ 的二次方程 $t^2 p^2-2tp+\bigl(0.5-\tfrac14 t^2\bigr)=0$。数值解得

$$ p_1\approx 0.635390,\qquad p_2\approx 4.193037. $$

求 $l_1$： $\cot\beta l_1=1-p$。短路支节物理长度常取 $\beta l_1\in(0,\pi)$：若 $1-p>0$ 取 $\beta l_1=\arctan\!\bigl(\frac{1}{1-p}\bigr)$ 型的一支；若 $1-p<0$ 则 $\beta l_1\in(\pi/2,\pi)$，用 $\beta l_1=\pi+\arctan\!\bigl(\frac{1}{1-p}\bigr)$（因 $\arctan$ 主值落在 $(-\pi/2,0)$）。

求 $l_2$： 在 $\bar Y_2$ 处并联第二短路支节，总导纳 $\bar Y=\bar Y_2-\mathrm{j}\cot\beta l_2$。匹配要求 $\bar Y=1$，已使 $\mathrm{Re}\,\bar Y_2=1$，故只需

$$ \mathrm{Im}\,\bar Y_2-\cot\beta l_2=0 \quad\Rightarrow\quad \cot\beta l_2=\mathrm{Im}\,\bar Y_2, $$

再按 $\beta l_2\in(0,\pi)$ 取与 $\mathrm{Im}\,\bar Y_2$ 符号一致的一支。

两组数值解（代入 $t$、$p$ 回算核验）

情况 A（$p_1$）： $l_1\approx 0.19435\lambda$，$l_2\approx 0.11437\lambda$（此组 $\mathrm{Im}\,\bar Y_2\approx +1.143$）。
情况 B（$p_2$）： $l_1\approx 0.45170\lambda$，$l_2\approx 0.47359\lambda$（此组 $\mathrm{Im}\,\bar Y_2\approx -5.972$）。

另加 $\lambda/2$ 于任一支节长度可得等价实现。作图时仍以教材 辅助圆/禁区 核对；勿与「并+串」拓扑混用。

标准解答§

经 $\lambda/4$ 后 $\bar Y=0.5+\mathrm{j}1.0$；一组解： $l_1\approx 0.194\lambda$，$l_2\approx 0.114\lambda$；另一组解： $l_1\approx 0.452\lambda$，$l_2\approx 0.474\lambda$（可加 $\lambda/2$ 周期；存在盲区时可能无解）。
检验/注意： 双支节避免在单支节不可实现的纯电导点，但存在盲区（某些负载无解），需用教材圆图法系统讲解。

解法二：圆图（Smith）§

Lec08-6：双并联短路支节的拓扑、导纳流程与两组长度

图：左侧先分清两根支节都与主线并联；中间按导纳图展示“经 $\lambda/4$ 到第一结点、加 $l_1$、再经 $\lambda/8$、加 $l_2$”的顺序；右侧列出两组长度。

读图说明（零基础）

本图定位：它不是只给一个起点，而是把双支节完整流程拆开：负载经 $d_1=\lambda/4$ 到第一结点，先由 $l_1$ 改电纳，再经 $d_2=\lambda/8$ 到第二结点，最后由 $l_2$ 配平到 $\bar Y=1$。
橙线：仍为 $g=1$ 参考；第一支节 + $d_2$ 的目标是让第二结点能被第二支节补到匹配点。
与 Q4/Q5 差异：两结点均并联，但中间有 $d_2$ 线段变换，故不能只用「一次转 $g=1$ + 外圆」结束。
自检：图上起点应与 解法一「经 $\lambda/4$ 后 $\bar Y\approx 0.5+\mathrm{j}1.0$」一致；两组 $l_1,l_2$ 要与解析值互校。

圆图操作步骤

$Z_0=100\,\Omega$，$\bar Z_L=(50+\mathrm{j}100)/100=0.5+\mathrm{j}1$；自负载经 $d_1=\lambda/4$ 在圆图上等价于 阻抗↔导纳互换（或直接在 导纳图 上得到 $\bar Y\approx 0.5+\mathrm{j}1.0$ 附近一点，与解析核对）。
在 第一并联支节 处：从该 $\bar Y$ 出发，用 短路并联支节 沿外圆调节，使经 $d_2=\lambda/8$ 线段变换后，能在 第二并联支节 处落到 匹配点（$\bar Y=1$ 或 $\bar Z=1$，视你书作图约定）。
按教材 双支节 标准作图顺序（有的书用辅助圆/禁区说明）读出 $l_1/\lambda$、$l_2/\lambda$，应与解析 $\approx 0.194$、$0.114$ 或 $\approx 0.452$、$0.474$ 两组互校；盲区负载在图上表现为无法落到匹配点。
交作业时建议 附圆图草图 或逐步拍照，标明每次旋转的波长数与支节起点。

常见疑惑点§

疑惑： 为什么先要经 $d_1=\lambda/4$ 再谈 $\bar Y$？解答： 无耗 $\lambda/4$ 线使 $\bar Z\leftrightarrow \bar Y$ 互换（见 Lec06-4），便于把负载变换到适于双支节操作的导纳平面；具体数值 $\bar Y\approx 0.5+\mathrm{j}1.0$ 由本题 $Z_L$ 推出。
疑惑： $l_1,l_2$ 的数值为什么只是「一组解」？解答： 双支节方程周期性强，且存在无解区间（盲区）；数值或圆图求得的 $l_1,l_2$ 常可加 $\lambda/2$ 得到等价解。
疑惑： 双支节和两个单支节串联起来想行不行？解答： 不行混拓扑；本题规定两结点均并联于主线，且第二段间距 $d_2=\lambda/8$ 参与变换，须按「并联电纳 + 线段变换」顺序列式。

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