第二次作业 · Lec08–09 · 第 4 题§

对应知识点：03-并联支节匹配

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说明：并联单支节通用推导、拓扑图与 $g=1$ 圆 可先读第 1 题和 Lec08–09 总册的导读，再回到本题代入数值。

第 4 题§

（对应大纲 Lec08–09 作业 第 4 题；该讲教材章节 §1.6。）

题目复述§

$Z_L=(100-\mathrm{j}50)\,\Omega$，$Z_c=50\,\Omega$，用并联短路支节匹配（主线、支线 $Z_c$ 均为 $50\,\Omega$）。求支节位置 $d$ 与长度 $l$（解析 + 圆图思路）。

详细思路§

工程/物理目标：把 任意 $Z_L$ 经 距负载 $d$ 的截面 + 并联短路支节 调到 $Z_c$，使馈线上反射最小；圆图上即 $g=1$ 定 $d$、外圆定 $l$（与 Lec08–09 总册导读、第 1 题 解法二 同一套路）。

第 1 题推导的并联单支节；圆图上：从 $\bar Y_L$ 出发向源转，与 $g=1$ 圆求交得 $d$，再在导纳圆上读短路支节长度。

思路叙述：

（并联单支节通用推导见第 1 题。）解析：求 $Y(d)$ 使 $\mathrm{Re}\,Y(d)=1/Z_c$；再用短路支节消去电纳。

拓扑与第 1 题相同：都是在距离负载 $d$ 的截面并联一段短路支节，先用主线长度定接入点，再用支节长度抵消多余电纳。

图解辅读（与总册「图解辅读」同套示意图）§

下列四图与 Lec08–09 总册 「图解辅读」 讲的是同一条思路，便于单题阅读时 不用跳转。

拓扑：并联短路单支节

先 $d$ 后 $l$ 的原因（支节只改电纳）

Smith：四步定 $d$、定 $l$

两组解：$g=1$ 两交点示意

提示：本题数值解 $d=\lambda/8,\,l=\lambda/8$ 等与 图 3、图 4 的作图逻辑一致；精确位置以你手算 / 圆图读数为准。

解法一：公式（解析）§

一步步解答§

归一化 $\bar Z_L=Z_L/Z_c=(100-\mathrm{j}50)/50=2-\mathrm{j}$，

$$ \bar Y_L=\frac{1}{\bar Z_L}=\frac{1}{2-\mathrm{j}}=\frac{2+\mathrm{j}}{5}=0.4+\mathrm{j}0.2 $$

沿线的归一化导纳（距负载 $d$，$t=\tan\beta d$）可写成

$$ \bar Y(d)=\frac{\bar Y_L+\mathrm{j}t}{1+\mathrm{j}\bar Y_L t} $$

（与第 1 题 $Y(d)$ 公式除以 $Y_c$ 后一致）。

令 $\mathrm{Re}\,\bar Y(d)=1$（即 $\mathrm{Re}\,Y(d)=Y_c$）。记 $\bar Y_L=g_0+\mathrm{j}b_0=0.4+\mathrm{j}0.2$，将

$$ \bar Y(d)=\frac{g_0+\mathrm{j}(b_0+t)}{(1-b_0 t)+\mathrm{j}g_0 t}. $$

分母有理化（写出实部，不漏项） 记 $D=(1-b_0 t)+\mathrm{j}g_0 t$，则 $|D|^2=(1-b_0 t)^2+(g_0 t)^2$。分子乘以 $D^\ast$：

$$ \bigl[g_0+\mathrm{j}(b_0+t)\bigr]\bigl[(1-b_0 t)-\mathrm{j}g_0 t\bigr] $$

其实部为

$$ \mathrm{Re}(N D^\ast)=g_0(1-b_0 t)+(b_0+t)(g_0 t)=g_0(1+t^2), $$

其中中间项 $-g_0 b_0 t$ 与 $+g_0 b_0 t$ 相消，余下 $g_0+g_0 t^2$。故

$$ \mathrm{Re}\,\bar Y(d)=\frac{g_0(1+t^2)}{(1-b_0 t)^2+(g_0 t)^2}. $$

令 $\mathrm{Re}\,\bar Y=1$，分母恒正，等价于

$$ g_0(1+t^2)=(1-b_0 t)^2+(g_0 t)^2. $$

代入 $g_0=0.4$、$b_0=0.2$：

$$ 0.4(1+t^2)=(1-0.2t)^2+0.16t^2=1-0.4t+0.2t^2, $$

整理得关于 $t=\tan\beta d$ 的二次方程

$$ t^2+2t-3=0\quad\Rightarrow\quad t=1\ \ \text{或}\ \ t=-3. $$

解 1： $t=1\Rightarrow \beta d=\pi/4\Rightarrow d=\lambda/8=0.125\lambda$。代回 $\bar Y(d)=\dfrac{0.4+\mathrm{j}(0.2+1)}{(1-0.2)+\mathrm{j}0.4}=\dfrac{0.4+\mathrm{j}1.2}{0.8+\mathrm{j}0.4}$，分子分母同乘 $(0.8-\mathrm{j}0.4)$ 得 $\bar Y=1+\mathrm{j}1$，故 $\mathrm{Im}\,\bar Y=1$。并联短路支节归一化导纳为 $-\mathrm{j}\cot\beta l$，令总电纳为零：$1-\cot\beta l=0\Rightarrow \cot\beta l=1\Rightarrow \beta l=\pi/4\Rightarrow l=\lambda/8$。
解 2： $t=-3$ 时，$\beta d=\arctan(-3)+\pi$（取 $(0,\pi)$ 内正解），$d/\lambda=\dfrac{\arctan(-3)+\pi}{2\pi}\approx 0.3013$。代回得 $\bar Y\approx 1-\mathrm{j}1$，$\mathrm{Im}\,\bar Y=-1$，需 $\cot\beta l=-1\Rightarrow \beta l=3\pi/4\Rightarrow l=3\lambda/8$（与圆图上另一 $g=1$ 交点一致；另加 $\lambda/2$ 周期可得等价解）。

圆图要点：标 $\bar Y_L$（或 $\bar Z_L$），沿 等 $|\Gamma|$ 圆 向源顺时针 转至 $g=1$ 得 $d$；读交点电纳，从 短路点 沿外圆走 $l$ 抵消。

标准解答§

一组常用解： $d=\lambda/8\approx 0.125\lambda$，$l=\lambda/8\approx 0.125\lambda$；另一组解： $d\approx 0.301\lambda$，$l=3\lambda/8=0.375\lambda$（另加 $\lambda/2$ 周期可得等价解）。圆图：归一化导纳向源转至 $g=1$ 定 $d$，短路点沿外圆定 $l$。
检验/注意： 多解对应不同交点与 $\lambda/2$ 周期。

解法二：圆图（Smith）§

$Lec08-4：$\bar Y_L$ 与 $g=1$ 的两个交点，对应两组并联短路支节解$

图：$\bar Y_L=1/\bar Z_L$；蓝色虚线圆表示沿线移动时 $|\Gamma|$ 不变，橙色轨迹是 $g=1$，两个紫色交点对应两组 $(d,l)$。

读图说明（零基础）

$\bar Y_L$：$\bar Z_L=2-\mathrm{j}$ 的倒数，在 导纳坐标 下标出（或阻抗面取倒数同一点）。
橙色 $g=1$：与第 1 题的 $g=1$ 导读图同义；交点 = $\mathrm{Re}\,\bar Y=1$。
蓝色等 $|\Gamma|$ 圆：沿同一圆 向源顺时针 找到与 $g=1$ 的交点；弧长 = $d/\lambda$（第一次交点常取最短 $d$）。
外圆：短路点出发走 $l/\lambda$，抵消交点处的 $b$。
自检：$d\approx 0.125\lambda$、$l\approx 0.125\lambda$ 与 解法一 一组解互校；多解勿忘 $\lambda/2$。

圆图操作步骤

$Z_c=50\,\Omega$，$\bar Z_L=(100-\mathrm{j}50)/50=2-\mathrm{j}$。在 阻抗圆图 上标负载；若用 导纳圆图，可将该点理解为 $\bar Y_L=1/\bar Z_L$（或按教材「转 $\lambda/4$」到导纳面）。
从 $\bar Y_L$ 出发，沿 等 $|\Gamma|$ 圆 向源（顺时针） 移动，直至与 $g=1$（即 $\mathrm{Re}\,\bar Y=1$）圆相交；第一次（距负载最近）交点对应的波长行程即 $d/\lambda\approx 0.125$。
在该交点读 归一化电纳 $b$；并联短路支节从圆图 短路点（$\bar Z=0$、$\bar Y\to\infty$）出发，沿外圆向适当方向转到使结点总电纳被抵消，得 $l/\lambda\approx 0.125$（与解析一组解一致；另有多解）。
与 解法一「一步步解答」中数值互校。

常见疑惑点§

疑惑： 圆图上 $g=1$ 与解析的 $\mathrm{Re}\,\bar Y=1$ 是一回事吗？解答： 对。归一化导纳 $\bar Y=Y/Y_c=Y Z_c$，故 $\mathrm{Re}\,\bar Y=1$ 即 $\mathrm{Re}\,Y=Y_c=1/Z_c$，对应等电导圆 $g=1$。
疑惑： 为什么常有多组 $(d,l)$？解答： $\mathrm{Re}\,Y(d)=Y_c$ 在 $d$ 上可有多个解；每一 $d$ 对应不同电纳，支节长度 $l$ 随之不同；再加 $\lambda/2$ 周期，书写时务必注明「一组解」。

自测 1 分钟§

问：归一化后 $\mathrm{Re}\,\bar Y(d)=1$ 在圆图上对应什么？答：等电导圆 $g=1$（因 $\bar Y=Y/Y_c$，$\mathrm{Re}\,\bar Y=1$ 即 $\mathrm{Re}\,Y=Y_c$）。

同讲各题：1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

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