Lec08-Lec09 · 并联支节匹配§
本节先抓住一句话§
并联单支节匹配分两步：
- 沿主线找一个点，让主线向负载看进去的归一化导纳实部变成 $g=1$。
- 在这个点并一个支节，用支节电纳把虚部 $b$ 抵消掉。
也就是：
$$ \bar y_{\mathrm{line}}=1+jb, \qquad \bar y_{\mathrm{stub}}=-jb. $$
两者相加就是匹配：
$$ \bar y_{\mathrm{tot}}=1. $$
图：主线长度 $d$ 负责把导纳实部调到 $g=1$，支节长度 $l$ 负责提供相反电纳，把虚部清零。
零基础读前翻译§
并联支节匹配看起来步骤多，其实只是在做两件不同的事：
- 沿主线走一段距离 $d$：把“看进去的导纳”转到实部正好为 1 的位置。
- 接一根开路或短路支节，选它的长度 $l$：让支节提供相反的虚部，把多余电纳抵消。
为什么要分两步？因为理想无耗支节本身只提供纯电纳，也就是只会改虚部，不会改实部。如果接入点的实部还不是 $g=1$，支节再怎么调长度也无法完成匹配。
因此先记住一句话：主线负责把实部调对，支节负责把虚部清零。 这句话比一开始背解析公式更重要。
这页里的“调对”有一个固定目标：从支节接入点向负载方向看，再加上支节导纳以后，结点总导纳要等于主线特性导纳 $Y_c$。归一化以后就是
$$ \bar y_{\mathrm{tot}}=1+j0. $$
所以并联支节匹配不是“让某处阻抗看起来简单”就结束，而是要让源侧主线看到匹配条件。只消掉虚部、只找到 $g=1$、只读出一个圆图交点，都还不是完整答案。
为什么并联匹配用导纳§
支节是并到主线上的。并联结点处电压相同，电流相加，所以导纳直接相加：
$$ Y_{\mathrm{tot}}=Y_{\mathrm{line}}+Y_{\mathrm{stub}}. $$
如果写归一化导纳：
$$ \bar y_{\mathrm{tot}}=\bar y_{\mathrm{line}}+\bar y_{\mathrm{stub}}. $$
这就是为什么单支节匹配总是在导纳图上找 $g=1$。因为支节通常是开路或短路传输线，它只提供纯电纳，不能改变实部 $g$。所以主线必须先自己走到 $g=1$。
归一化时要说清基准。通常本讲默认主线和支节的特性阻抗相同，都归一化到主线的
$$ Y_c=\frac{1}{Z_c}. $$
若题目里支节特性阻抗和主线不同，不能直接写 $\bar y_{\mathrm{stub}}=-j\cot\beta l$ 后就相加。稳妥做法是先算实际导纳 $Y_{\mathrm{stub}}$，和实际的 $Y_{\mathrm{line}}$ 相加；或者统一除以主线 $Y_c$。并联结点相加的永远是同一单位、同一参考基准下的导纳。
还要分清 $\bar z$ 和 $\bar y$。若负载给的是阻抗，先算
$$ \bar z_L=\frac{Z_L}{Z_c}, \qquad \bar y_L=\frac{1}{\bar z_L}=\frac{Z_c}{Z_L}. $$
并联支节题从 $\bar y_L$ 出发通常最顺。把 $\bar z_L$ 直接拿去做导纳相加，是这类题最常见的错法之一。
$d$ 和 $l$ 分别是什么§
并联单支节有两个长度：
| 量 | 含义 | 负责什么 |
|---|---|---|
| $d$ | 从负载到支节接入点的主线长度 | 把主线导纳转到 $g=1$ |
| $l$ | 支节从接入点到开/短路端的长度 | 提供 $-jb$ 抵消电纳 |
很多题错在把这两个长度混在一起。$d$ 是沿主线走，$l$ 是沿支节走；它们一般不是同一个方向，也不是同一个物理段。
看拓扑图时可以把三条“看进去”的方向先写在图上：
- 从支节接入点向负载看，得到主线导纳 $\bar y(d)$。
- 从支节接入点沿支节看，得到 $\bar y_{\mathrm{stub}}$。
- 源侧从这个结点向负载和支节看，匹配后希望看到的总导纳就是主线的 $Y_c$。
这样写的好处是，$d$、$l$ 不会混。$d$ 的终点是支节接入点，起点按题目通常从负载量起；$l$ 的起点是支节接入点，终点是短路端或开路端。
解析法怎么写§
设接入点向负载看进去的归一化导纳为
$$ \bar y(d)=g(d)+jb(d). $$
匹配条件是
$$ \bar y(d)+\bar y_{\mathrm{stub}}=1. $$
因为开路/短路无耗支节只提供纯电纳，所以先要求
$$ g(d)=1. $$
这一步解出可能的 $d$。然后支节只要提供
$$ \bar y_{\mathrm{stub}}=-jb(d) $$
即可。
短路支节输入阻抗为
$$ Z_{\mathrm{stub}}=jZ_c\tan\beta l, $$
所以输入导纳为
$$ Y_{\mathrm{stub}}=-jY_c\cot\beta l. $$
开路支节输入阻抗为
$$ Z_{\mathrm{stub}}=-jZ_c\cot\beta l, $$
所以输入导纳为
$$ Y_{\mathrm{stub}}=jY_c\tan\beta l. $$
代入虚部条件即可解 $l$。
若想把主线段也全写成归一化导纳，可以先令
$$ \bar y_L=g_0+jb_0,\qquad t=\tan\beta d. $$
从负载向源走到接入点后，向负载看的归一化导纳可写成
$$ \bar y(d)= \frac{g_0+j(b_0+t)} {(1-b_0t)+jg_0t}. $$
这条式子不要求背死，但要知道它在干什么：它把“沿主线走 $d$”变成关于 $t=\tan\beta d$ 的代数式。接下来先取实部令 $g(d)=1$，这一步通常给出两个 $t$，也就给出两组 $d$。
得到某一组 $d$ 后，再把该点的虚部记为 $b(d)$。若使用与主线同特性阻抗的短路并联支节，
$$ \bar y_{\mathrm{stub}}=-j\cot\beta l. $$
匹配要求
$$ b(d)-\cot\beta l=0. $$
因此
$$ \cot\beta l=b(d), \qquad \tan\beta l=\frac{1}{b(d)} $$
其中 $b(d)\ne0$。如果是开路并联支节，则
$$ \bar y_{\mathrm{stub}}=j\tan\beta l, \qquad \tan\beta l=-b(d). $$
短路和开路只差一个符号和 $\tan/\cot$ 的位置，推导时要写清题目到底是哪一种。不要把“短路支节的 $-\cot$”拿去套开路题。
选支节长度时也要处理象限。$\tan$ 和 $\cot$ 的周期都是 $\pi$，所以支节长度加 $\lambda/2$ 等效。若算出 $\cot\beta l<0$，$\beta l$ 不在第一象限，要在 $(0,\pi)$ 里取与符号一致的那一支；这就是很多答案写成 $0.375\lambda$、$0.419\lambda$，而不是随手取一个负角绝对值的原因。
圆图法怎么走§
圆图上的流程更直观：
- 把负载转成归一化导纳 $\bar y_L$。
- 从负载点沿等 $|\Gamma|$ 圆向源旋转。
- 找到与 $g=1$ 圆的交点，这一步确定 $d$。
- 读该点电纳 $b$。
- 从开路或短路点沿外圆走支节长度 $l$，让支节提供 $-b$。
可以把这张图记成一句话：主线负责把实部调对，支节负责把虚部清零。
圆图上还有两个动作容易混在一起：
- 从负载导纳点沿等 $|\Gamma|$ 圆向源转到 $g=1$，这是主线长度 $d$。
- 从短路点或开路点沿外圆走到所需电纳，这是支节长度 $l$。
这两段虽然都在 Smith 图上画弧，但不是同一条物理线，也不是同一个起点。主线弧的起点是负载导纳点；支节弧的起点是短路点或开路点。
为什么常有多解§
多解来自两个地方：
- 等 $|\Gamma|$ 圆和 $g=1$ 圆通常有两个交点，所以 $d$ 可能有两组。
- 支节的 $\tan$ 或 $\cot$ 有周期，$l$ 加 $\lambda/2$ 仍然等效。
所以题目如果问“距负载最近”“支节最短”“取 $0<l<\lambda/2$”，这些限制不是废话，它们是在帮你从多解里选一个工程上合适的解。
以短路单支节为例，若在某个 $g=1$ 交点读到
$$ \bar y(d)=1+j1, $$
则支节要提供 $-j1$，也就是
$$ -j\cot\beta l=-j \quad\Rightarrow\quad \cot\beta l=1 \quad\Rightarrow\quad l=\lambda/8 $$
的一组短解。若另一个交点读到 $\bar y(d)=1-j1$，则要提供 $+j1$，即 $\cot\beta l=-1$，在 $0<l<\lambda/2$ 内对应 $l=3\lambda/8$。这两个解都可能正确，关键看题目要求“最近接入”“最短支节”还是“列出所有可行解”。
工程匹配实例§
不是另开一套独立例题库，而是把同一个失配问题放进三种匹配方法里比较。主线是：先把微带贴片天线等效成 $Z_L$，再选一种网络把端口反射压低。
| 方法 | 自由度 | 适合记住的判断 | 本节给出的工程结果 |
|---|---|---|---|
| $\lambda/4$ 阻抗变换器 | 支节补偿虚部 + $\lambda/4$ 线特性阻抗 | 先把复负载变成可由 $\lambda/4$ 线处理的实部，再选 $Z_c$ | Rogers 5880 基片上反射降低到约 $-23.7\,\mathrm{dB}$ |
| 单支节匹配 | 接入距离 $d$ + 支节长度 $l$ | 主线把导纳实部转到 1，支节抵消虚部 | 一组解为 $d=15.7\,\mathrm{mm}$、$l=15.6\,\mathrm{mm}$，反射约 $-27.54\,\mathrm{dB}$ |
| 双支节匹配 | 两个支节长度，支节间距固定 | 便于工程固定焊盘，但可能有匹配死区 | 间距取 $\lambda/8$ 时，一组解为 $l_1=10.6\,\mathrm{mm}$、$l_2=17.6\,\mathrm{mm}$，反射约 $-22.94\,\mathrm{dB}$ |
这张表的重点不是背具体毫米数，而是看清三种方法的“调参对象”不同：
- $\lambda/4$ 变换器靠特性阻抗做阻抗反演，带宽通常较窄；
- 单支节靠接入位置 + 支节长度完成匹配，圆图上最直观；
- 双支节牺牲自由接入位置，换来固定结构，工程实现更像 PCB 上的可预留焊盘。
报告或作业里遇到“匹配前后反射降低多少 dB”，建议补一句功率意义。例如从 $-4.7\,\mathrm{dB}$ 压到 $-27.5\,\mathrm{dB}$，不是“数字变小”这么简单，而是反射功率从几十个百分点降到千分量级，端口能量主要被送进天线或后级网络。
这里还要防一个混套：$\lambda/4$ 变换器和单支节匹配虽然都在“先找一个合适截面”，但合适的条件不同。$\lambda/4$ 变换器通常先找阻抗为纯电阻的截面，即 $\mathrm{Im}\,Z(d)=0$，再选变换段特性阻抗；并联单支节则先找导纳实部为 1 的截面，即 $\mathrm{Re}\,\bar Y(d)=1$，再用支节补虚部。一个看阻抗实轴，一个看导纳 $g=1$，不要把两套条件互换。
双支节匹配的直觉§
双支节比单支节多一个支节，但少了一个自由接入位置：两支节之间的间距通常固定。
粗略理解：
- 第一支节先把导纳推到一个“第二支节能处理”的区域。
- 主线间距让导纳在圆图上转一段。
- 第二支节再把剩余电纳抵消。
它的难点是可能出现盲区：有些负载怎么调第一支节，都无法让第二支节完成匹配。这也是为什么教材会特别讨论支节间距。
双支节匹配死区（简答）§
课堂串讲将匹配死区（教材亦称盲区）列为简答题重点（约 10 分档）。标准答法分四步：
- 定义：固定两支节间距 $d_2$ 时，存在某些负载 $Y_L$，无论第一支节长度 $l_1$ 如何调节，都无法使第二支节把总导纳调到 $\bar y_{\mathrm{tot}}=1+j0$。
- 成因（辅助圆法）：第二支节前导纳须落在 $g=1$ 圆上。该圆相对第一支节位置逆时针旋转 $\Delta\phi=4\pi d_2/\lambda$ 得辅助圆。若负载经 $d_1$ 与 $l_1$ 后始终落在辅助圆外，则无解。串讲表述：死区 = 与辅助圆相切的等 $G$ 圆；负载点 $A$ 在死区内时，沿等电导圆无法到达辅助圆。
- 与间距的关系：$d_2=\lambda/4$ 时死区最大；$d_2=\lambda/8$ 或 $3\lambda/8$ 时死区较小。间距为 $\lambda/2$ 整数倍时旋转重复，调节自由度退化，工程上更应避免。
- 工程处理：三 stub（$d_2=\lambda/4$ 时可将 $B_1$ 调为开路使 $A'=A$，再经 $\lambda/4$ 段对称到匹配点）；或改 $d_1$、单支节 + $\lambda/4$ 变换、换工作频率/负载。
详见 Lec08-09 · 第 6 题 与 考前复习 · 第 5 项。
串讲算例：并联短路支节{#stub-matching-example}§
题面：$Z_c=50\,\Omega$，$Z_L=50+j25\,\Omega$，$\lambda=10\,\mathrm{cm}$，求并联短路支节的接入位置 $d$ 与长度 $l$。
思路：归一化 $z_L=1+j0.5$；Smith 圆图或公式找 $g=1$ 的 $d$；短路支节提供 $-jb$ 使总导纳 $1+j0$。完整数值步骤见 Lec08-09 · 第 4 题（同型计算题）；推导条件见 第 1 题。
双支节题的草稿纸顺序要比单支节更严格：
- 先从负载沿主线走到第一支节位置，得到第一结点导纳。
- 第一支节并联，只改变该结点电纳。
- 再沿主线固定间距走到第二支节位置，导纳又被线段变换一次。
- 第二支节并联，再把总导纳调到 $1+j0$。
若两根支节都明确“并联”，全程在结点处做导纳相加；中间主线段才用传输线变换。第 6 题就是这种结构。
如果题目说第二个支节与主线“串联”，就完全不是双并联支节了。串联处要回到阻抗域：
$$ Z_{\mathrm{out}}=Z_{\mathrm{line}}+Z_s. $$
短路串联支节的阻抗是
$$ Z_s=jZ_c\tan\beta l. $$
这时不能写 $Y_{\mathrm{tot}}=Y_{\mathrm{line}}+Y_{\mathrm{stub}}$。第 7 题之所以容易错，就是因为第一处并联要用导纳，第二处串联要用阻抗，中间还隔着一段主线变换。
深入理解：单支节匹配的两个自由度各管一件事§
并联单支节有两个可调量：主线接入距离 $d$ 和支节长度 $l$。它们不是随便凑两个变量，而是分别解决匹配条件的两部分。
匹配点要求归一化总导纳为
$$ \bar y_{\mathrm{tot}}=1+j0. $$
无耗开路/短路支节只提供纯电纳，形式是 $j b_{\mathrm{stub}}$。它没有实部，不能改变导纳实部 $g$。因此如果接入点主线导纳是
$$ \bar y_{\mathrm{line}}=g+jb, $$
而 $g\ne 1$，支节无论多长，都只能把它改成 $g+j(b+b_{\mathrm{stub}})$，实部仍然不是 1，匹配做不成。
这就是为什么第一步必须沿主线移动 $d$，直到
$$ \bar y_{\mathrm{line}}(d)=1+jb. $$
沿主线移动会改变参考面上的导纳，既可能改实部，也可能改虚部；等找到 $g=1$ 后，第二步才轮到支节长度 $l$，让
$$ \bar y_{\mathrm{stub}}=-jb. $$
圆图上的两个交点对应两组可行 $d$，支节的 $\lambda/2$ 周期又给出多组等效 $l$。工程上选哪组，不只看数学可行，还要看支节是否太长、是否方便加工、是否离负载太近，以及带宽是否能接受。
跟读检查：如果你的解法一开始就在调支节长度，却没有先说明接入点已经到 $g=1$，那只是消了虚部，不一定完成匹配。
还有一个检查很实用：最后把你选出的 $d,l$ 代回总导纳。单支节并联题应得到
$$ \bar y_{\mathrm{line}}(d)+\bar y_{\mathrm{stub}}=1+j0. $$
如果代回后实部不是 1，说明 $d$ 选错；如果实部是 1 但还有虚部，说明 $l$ 或支节符号选错。
逐题反查闭环§
本页已按 第二次作业 · Lec08-Lec09 反查：并联单支节匹配的主线是“主线移动到 $g=1$ 圆，再用支节补掉虚部”。所以 $d$ 负责把归一化导纳调到 $1+jb$，$l$ 负责提供 $-jb$，两者不能互换。
单支节题通常有两个周期解；作业中既要写出可行解，也要说明选择最短解或工程可实现解的理由。短路/开路支节的输入导纳符号要按本册公式统一，最后验算必须回到 $Y_{\mathrm{total}}=Y_c$ 或 $\bar y_{\mathrm{tot}}=1$，不能只停在圆图读数。
$\lambda/4$ 变换器题、并联中途加载题、双并联支节题、并串混合题都属于本讲，但列式入口不同。第 2 题看阻抗纯实截面；第 3 题先在并联点做导纳相加，再沿线变换；第 6 题两个结点都并联，统一用导纳；第 7 题一并一串，必须在导纳域和阻抗域之间切换。做题前先画拓扑，比先写公式更重要。
作业怎么答§
Lec08-Lec09 的题建议按这个模板：
- 明确是串联还是并联；并联就转导纳。
- 标清 $d$ 沿主线量，$l$ 沿支节量，二者起点不同。
- 写出接入点导纳 $\bar y(d)=g+jb$。
- 用 $g=1$ 定 $d$。
- 用支节电纳 $-b$ 定 $l$，并区分短路 $-\cot\beta l$ 与开路 $+\tan\beta l$。
- 最后说明多解和周期，按题目要求选最近或最短解。
- 若是 $\lambda/4$ 变换器，改用 $\mathrm{Im}\,Z(d)=0$ 找纯阻截面，不套 $g=1$。
- 若有串联支节，串联处回到阻抗相加。
对应题解见 第二次作业 · Lec08-Lec09。
Mini 自检§
- 单支节匹配中，为什么不是先让虚部为零？
- $g=1$ 表示什么物理目标？
- $d$ 和 $l$ 分别沿哪条线量？
- 短路支节提供的归一化电纳和 $\cot\beta l$ 有什么关系？
- 为什么单支节匹配通常不止一组答案？
- 开路并联支节的归一化导纳是什么？
- $\lambda/4$ 变换器和并联单支节找接入点的条件有什么不同？
- 第 7 题这类“并联 + 串联”混合拓扑为什么不能套双并联支节公式？
答案
- 因为无耗开路/短路支节只提供纯电纳，只能抵消虚部，不能改变实部。如果接入点的实部 $g$ 还不是 1，即使先把虚部清零，也会得到 $g+j0$，仍然不是匹配点 $1+j0$。
- $g=1$ 表示接入点向负载看进去的归一化导纳实部已经等于主线要求的实部。此时只要再把虚部 $b$ 抵消掉，总导纳就能变成 $\bar y=1+j0$。
- $d$ 沿主线量，从负载向源方向走到支节接入点；$l$ 沿支节量，从接入点走到开路端或短路端。二者是两段不同的物理长度。
- 短路支节输入导纳为 $Y_{\mathrm{stub}}=-jY_c\cot\beta l$，归一化后是 $\bar y_{\mathrm{stub}}=-j\cot\beta l$。因此它提供的归一化电纳为 $b_{\mathrm{stub}}=-\cot\beta l$。
- 一方面，主线上的等 $|\Gamma|$ 圆通常会和 $g=1$ 圆相交两次，所以 $d$ 有两组；另一方面，支节的 $\tan$、$\cot$ 有 $\lambda/2$ 周期，所以 $l$ 也有周期等效解。
- 若支节和主线特性阻抗相同，开路并联支节输入导纳为 $Y_{\mathrm{stub}}=jY_c\tan\beta l$，归一化后是 $\bar y_{\mathrm{stub}}=j\tan\beta l$。若特性阻抗不同，要先按实际导纳换算到同一归一化基准。
- $\lambda/4$ 变换器通常先沿主线找 $Z(d)$ 为纯电阻的位置，即 $\mathrm{Im}\,Z(d)=0$，再选变换段特性阻抗；并联单支节先找归一化导纳实部 $g=1$ 的位置，再用支节电纳消虚部。
- 因为双并联支节两个结点都按导纳相加，而混合拓扑里串联支节必须在阻抗域相加。并联处写 $Y_{\mathrm{tot}}=Y_{\mathrm{line}}+Y_{\mathrm{stub}}$，串联处写 $Z_{\mathrm{out}}=Z_{\mathrm{line}}+Z_s$，两者不能互换。