Lec06 · 多段线、并联与四分之一波长变换§
本节先抓住一句话§
复杂传输线网络不用一眼看穿。最稳的办法是：从最远的负载开始，一段一段向源端等效；每跨过一段线都先确认这一段自己的 $Z_c$，遇到并联先转导纳，遇到 $\lambda/4$ 想阻抗反演。
零基础读前翻译§
这一讲可以先把复杂网络想成“多层包装盒”：
- 最里面是真正的负载。
- 每跨过一段传输线，负载就会被这段线“包装”成新的输入阻抗。
- 遇到分叉并联时，不是把阻抗直接相加，而是把每条支路看进去的导纳相加。
所以做多段线题时，不要从源端往里猜。先找最远端那个确定的负载，从它开始一步一步向源端折算。每折算完一段，就把算出的 $Z_{\mathrm{in}}$ 当成前一段的新负载。
这里的“前一段”不是看图上谁更靠左，而是看信号源在什么方向、负载在什么方向。参考方向一旦画反，$l$ 的位置、$\Gamma(z)$ 的相位和输入阻抗公式里的终端都会跟着错。草稿纸上最好先画一个箭头：向负载看，还是向源端退。
如果看到 $\lambda/4$，先停一下：它通常不是普通长度，而是在提示“阻抗反演”。大阻抗会被翻成小阻抗，小阻抗会被翻成大阻抗。
但“翻过来”不等于随便把所有数字取倒数。只有在同一段无耗均匀线、长度正好是该频率下的导波四分之一波长时，才可以把这一段的终端阻抗按 $Z_c^2/Z_L$ 反演。公式里的 $Z_c$ 是这一段线的特性阻抗，不一定是整张图里主馈线的 $Z_c$。
多段线怎么想§
传输线网络题常画成几段线、几个负载、几个分支。不要被图吓住，思路和普通电路一样：从末端往输入端化简。
每一段无耗线都可以用通式：
$$ Z_{\mathrm{in}}(l) =Z_c\frac{Z_L+jZ_c\tan\beta l}{Z_c+jZ_L\tan\beta l}. $$
区别在于：普通电路的线只是连接，传输线的一段长度本身会改变阻抗。你每跨过一段线，都要做一次变换。式子里所有量都属于“当前这一段”：当前段的 $Z_c$、当前段的 $\beta$、当前段的长度 $l$，以及当前段末端接着的等效负载 $Z_L$。如果图中主线、支线、四分之一波长变换段的特性阻抗不同，不能把主线的 $Z_c$ 一路套到底。
做题顺序建议：
- 标清源端、负载端和参考方向。
- 给每段线单独写 $Z_c$、长度 $l$、电长度 $\beta l$、终端是什么。
- 从最末端负载开始算该段输入阻抗。
- 把算出的输入阻抗当作上一段的新负载。
- 遇到并联结点，先算各支路从结点看进去的阻抗，再转成导纳相加。
- 最后若题目问匹配，只能把最终输入端等效阻抗同它所接的那条主线 $Z_c$ 比较。
一个很实用的写法是给每个参考面起名字，例如 $A$、$B$、$C$。算到 $B$ 点时只写“从 $B$ 向负载看是什么”，不要同时把 $A$ 点、支路末端和信号源内阻混在一行里。多段线题的错误经常不是公式不会，而是把三个参考面的量写进了同一个公式。
并联结点为什么优先用导纳§
并联时，电压相同，电流相加，所以导纳最自然：
$$ Y_{\mathrm{tot}}=Y_1+Y_2+\cdots. $$
如果你硬用阻抗，也可以，但会绕：
$$ Z_{\mathrm{tot}}=\left(\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\cdots\right)^{-1}. $$
支节匹配也是这个逻辑。支节不是串在主线上，而是在某个结点并到主线上，所以后面会反复写
$$ Y_{\mathrm{tot}}=Y_{\mathrm{line}}+Y_{\mathrm{stub}}. $$
这里还有一个容易被忽略的顺序：不是先把终端电阻并联，再做 $\lambda/4$ 变换。若两条支路各自都有一段线，必须先从并联结点看进每条支路，得到 $Z_1$、$Z_2$，再写 $Y_{\mathrm{tot}}=1/Z_1+1/Z_2$。线段在结点和负载之间，不能跳过。
Lec06 第 1 题就是这个结构。两条支线都长 $\lambda/4$，终端分别是 $R_1=2Z_c/3$、$R_2=Z_c/3$。从结点 $B$ 看进去时，它们不是直接并联 $R_1$ 和 $R_2$，而是先变成
$$ Z_{B1}=\frac{Z_c^2}{R_1}=\frac{3}{2}Z_c,\qquad Z_{B2}=\frac{Z_c^2}{R_2}=3Z_c. $$
然后再并联：
$$ \frac{1}{Z_B}=\frac{1}{Z_{B1}}+\frac{1}{Z_{B2}}=\frac{1}{Z_c}. $$
所以主线看见的是 $Z_B=Z_c$，主线上匹配；但每条支路自己的终端仍然不等于支线 $Z_c$，支路内部仍有局部反射和驻波。这一点对画电压、电流幅值分布特别关键。
$\lambda/4$ 线为什么常用§
四分之一波长线段有一个很好用的特性：
$$ Z_{\mathrm{in}}\left(\frac{\lambda}{4}\right)=\frac{Z_c^2}{Z_L}. $$
这条式子里的 $Z_c$ 是这段四分之一波长线自己的特性阻抗。若它是一段专门插入的变换线，常把它记成 $Z_{c1}$ 或 $Z_{0T}$，以免和主线 $Z_0$ 混淆。
它把阻抗“翻过来”：
- 大阻抗变小阻抗。
- 小阻抗变大阻抗。
- 短路变开路。
- 开路变短路。
如果负载是纯电阻 $R_L$，想接到特性阻抗为 $Z_0$ 的主线上，可以选一段 $\lambda/4$ 变换线，使
$$ Z_0=\frac{Z_{c1}^2}{R_L}, $$
即
$$ Z_{c1}=\sqrt{Z_0R_L}. $$
这个方法干净、好算，但限制也明显：它主要适合在某个参考面上负载呈纯电阻的情况，而且工作带宽不宽。
串讲步骤（，窄带）：先在主线上找到纯电阻截面上 $R_x$（常为波腹/波节）；插入 $\lambda/4$ 段，取 $Z_{c1}=\sqrt{Z_0 R_x}$，使 $\lambda/4$ 后 $Z_{\mathrm{in}}=Z_0$。$l_1$ 如何算到实数阻抗点，见 03 · 并联支节。
本节的微带天线匹配例子把这个限制处理得更完整：若负载本身是复阻抗，不能直接拿 $\sqrt{Z_0R_L}$ 收工。应先用一段主线或支节把虚部处理掉，让参考面看进去的导纳只剩合适的实部，再用四分之一波长线完成阻抗反演。也就是说，$\lambda/4$ 线是“反演器”，不是万能复阻抗消除器。
在工程图上可按三步写：
- 把天线端口或器件端口等效成 $Z_L$ 或 $Y_L$。
- 通过主线长度或支节补偿，把参考面调成可由 $\lambda/4$ 线处理的实数口径。
- 选变换线特性阻抗 $Z_{c1}$，并确认匹配只在中心频率附近成立。
开路和短路输入阻抗怎么解§
有一类题会问：给定 $Z_c$ 和 $Z_L$，求一段线长 $l$，使始端看进去变成开路 $Z_{\mathrm{in}}=\infty$ 或短路 $Z_{\mathrm{in}}=0$。这类题不要背特殊结论，直接回到输入阻抗公式：
$$ Z_{\mathrm{in}}(l)=Z_c\frac{Z_L+jZ_c\tan\beta l}{Z_c+jZ_L\tan\beta l}. $$
当 $Z_L$ 是有限值时：
- 要 $Z_{\mathrm{in}}=\infty$，通常令分母为零：$Z_c+jZ_L\tan\beta l=0$。
- 要 $Z_{\mathrm{in}}=0$，通常令分子为零：$Z_L+jZ_c\tan\beta l=0$。
解出 $\tan\beta l$ 后，还要处理“最短正线长”。$\tan$ 的周期是 $\pi$，对应线长周期为 $\lambda/2$。如果 $\arctan$ 给出负角，不是把负线长写进答案，而是在 $(0,\pi)$ 里找同一个正切值对应的第一个正角。例如 $\tan\beta l=-2/3$ 时，最短正角是
$$ \beta l=\pi-\arctan\frac{2}{3}, $$
而不是 $\beta l=\arctan(-2/3)$。如果把负角的绝对值误当作正线长，会写出约 $0.094\lambda$；按最短正解处理则是约 $0.406\lambda$，差得很远。
幅值分布怎么看§
线上电压电流幅值是否起伏，仍然看反射：
- 匹配主线：$\Gamma=0$，主线电压电流幅值不因反射起伏。
- 不匹配支路：支路内可能有反射和驻波，幅值会随位置变。
- 并联结点：主线整体匹配，不代表每个分支内部都没有局部驻波。
读这类图时不要只看曲线形状，要问三件事：
- 哪一段是主线，哪一段是支路？
- 哪个参考面要求匹配？
- 起伏来自哪一个终端的反射？
主线匹配时，主线上的电压、电流幅值可以画成常数；但支线是否起伏要重新看支线自己的终端反射系数。Lec06 第 1 题中，从 $B$ 点向两支路合看是匹配的，可单独看每条支线，$R_1$、$R_2$ 都不等于支线 $Z_c$，所以支线仍按 $|1+\Gamma_L e^{-j2\beta d}|$ 和 $|1-\Gamma_L e^{-j2\beta d}|$ 起伏。换句话说，一个结点的总等效匹配，不会自动抹掉每条支路内部的驻波。
$\lambda/4$ 间距题怎么读§
有些题会标两个点 $A$、$B$ 相距 $\lambda/4$。这通常暗示：如果一个点看进去是 $Z$，另一个点看进去可能与 $Z_c^2/Z$ 有关。
但要小心：这个简单反演结论要求同一段无耗均匀线，且两点之间正好是四分之一波长。若中间夹了结点、分支或不同 $Z_c$ 的线段，就要分段算。
若 $B$ 更靠近负载，$A$ 更靠近源，且二者之间只是同一段无耗均匀线，那么从 $B$ 向负载看为 $Z_B$，从 $A$ 向负载看就是
$$ Z_A=\frac{Z_c^2}{Z_B}. $$
归一化以后更容易看出它为什么等于“导纳”：
$$ \bar Z_A=\frac{Z_A}{Z_c}=\frac{1}{Z_B/Z_c}=\frac{1}{\bar Z_B}=\bar Y_B. $$
这里的 $\bar Y_B$ 不是普通单位的西门子值，而是归一化导纳：$\bar Y_B=Y_BZ_c=1/\bar Z_B$。所以题目说“$A$ 点归一化输入阻抗等于 $B$ 点归一化导纳”，不是说 $Z_A$ 和 $Z_B$ 数值相等，也不是说真实电路多了一条并联支路；它只是 $\lambda/4$ 反演在归一化坐标里的写法。
驻波测量反推负载怎么接上本讲§
本讲后半部分的题还会把驻波比、波节位置和负载阻抗连在一起。思路其实仍然是“参考面搬家”：
- 驻波比 $\rho$ 先给出反射系数的大小：
$$ |\Gamma_L|=\frac{\rho-1}{\rho+1}. $$
- 电压最小点的位置给出反射系数的相位。按本文约定，若 $z$ 自负载向源端量，沿线反射系数可写成
$$ \Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}. $$
- 在电压波节处，入射电压和反射电压相消，可把该截面的反射系数看成负实数，再反推出 $\Gamma_L$。
- 最后用
$$ Z_L=Z_c\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L} $$
把反射系数换回负载阻抗。
这类题最怕把“终端改短路后的波节位置”和“原负载时的波节位置”混成一个点。短路时电压波节就在负载处；若题目说改短路后波节向负载方向移动了 $0.1\lambda$，就要先判断原负载的第一波节原来离负载多远，再把这个距离放进 $\Gamma(z)$ 的相位里。
深入理解：多段线题的核心是“参考面逐步搬家”§
多段传输线看起来像复杂网络，本质上是在不断改变参考面。你站在负载端看，看到的是 $Z_L$；往源端退过一段线后，看到的就变成这一段线的输入阻抗；再退过下一段线，又得到新的输入阻抗。
所以计算顺序必须从已知边界开始：
$$ Z_L\quad\rightarrow\quad Z_{\mathrm{in,1}}\quad\rightarrow\quad Z_{\mathrm{in,2}}\quad\rightarrow\quad\cdots $$
每一步都只回答一个问题：从当前参考面向负载方向看，后面的所有东西等效成什么阻抗或导纳。这样处理后，再复杂的线段也会变成“上一段的新负载”。
并联结点是另一个参考面。站在这个结点看，每条支路都有自己的输入阻抗；但结点电压相同、电流相加，所以真正直接相加的是导纳：
$$ Y_{\mathrm{tot}}=Y_1+Y_2+\cdots. $$
$\lambda/4$ 线则是一个特殊的参考面搬运器。它不只是“长度等于四分之一波长”，而是把负载阻抗反演成 $Z_c^2/Z_L$。这就是为什么它既能把开短路互换，也能把一个纯电阻变成另一个纯电阻。
跟读检查：多段线题每算完一步，都要在图上标出“现在的参考面在哪里”。如果参考面没有标清，很容易把某一段的 $Z_c$、某个结点的并联关系和某个负载的 $Z_L$ 混到同一个公式里。
如果题目同时出现“并联”和“归一化”，再多检查一次量纲。阻抗归一化通常写 $\bar Z=Z/Z_c$，导纳归一化通常写 $\bar Y=Y/Y_c=YZ_c$。同一结点的导纳可以相加，但必须在同一实际单位或同一归一化基准下相加。不要把某条支线自己的 $\bar Z$ 直接拿去和另一条线的 $\bar Y$ 相加。
草稿纸上怎么拆多段线§
真正考试时，可以按下面这个顺序写，能避免大多数串线、并联、归一化混乱：
- 先重画拓扑，只保留源端、负载端、结点和每段线的 $Z_c,l$。
- 在图上标“从哪里向负载看”，并给关键参考面命名。
- 从最远负载开始，按当前段自己的 $Z_c$ 和 $l$ 计算这一段的输入阻抗。
- 算到并联结点时，把每条支路从结点看进去的阻抗先转成导纳，再相加。
- 若题中出现 $\lambda/4$，先判断它是不是同一段无耗均匀线，再用 $Z_c^2/Z_L$；若不是，就回到通式。
- 若要求匹配，最后只比较源侧主线看到的等效阻抗和主线 $Z_c$。
- 若要求幅值分布，分开判断主线和每条支路的反射；主线匹配不等于支路无驻波。
- 若要求最短线长，解出 $\tan\beta l$ 后在 $(0,\lambda/2)$ 内挑第一个正解。
这套步骤看起来慢，但它把“公式计算”和“网络拓扑”分开了。先把拓扑拆清楚，公式反而会少写很多。
逐题反查闭环§
本页已按 第二次作业 · Lec06 反查：多段线题先从负载端向源端逐段等效；遇到并联结点时切到导纳，因为并联支路直接相加的是 $Y$，不是 $Z$。若继续加阻抗，哪怕单段输入阻抗算对，结点也会错。
$\lambda/4$ 变换只在无耗、长度正好为四分之一导波波长的线段上使用，常用形式是 $Z_{\mathrm{in}}=Z_{c,\mathrm{seg}}^2/Z_L$，其中 $Z_{c,\mathrm{seg}}$ 指当前这一段线的特性阻抗。若题目给的是并联支路或归一化导纳，要先确认当前参考面、当前线段的 $Z_c$ 和归一化基准，避免把“阻抗反演”和“导纳相加”混在同一步。
作业怎么答§
Lec06 的题建议按这个模板：
- 写出每段传输线的 $Z_c$、$l$、终端，并标清参考方向。
- 对每段使用输入阻抗公式，能用 $\lambda/4$ 简化就简化，但只用当前段的 $Z_c$。
- 并联处先把各支路折算到结点，再转导纳相加。
- 若问 $Z_{\mathrm{in}}=\infty$ 或 $Z_{\mathrm{in}}=0$，分别看输入阻抗公式的分母或分子，并在 $\lambda/2$ 周期内取最短正解。
- 若问匹配，最后检查输入端是否等于它所接主线的 $Z_c$。
- 若问幅值分布，先判断各段是否存在反射，再画包络。
- 若问由 $\rho$ 和波节位置反推 $Z_L$，先由 $\rho$ 定 $|\Gamma|$，再由波节位置定相位。
对应题解见 第二次作业 · Lec06。
Mini 自检§
- 为什么并联结点更适合用导纳？
- $\lambda/4$ 线接纯电阻 $R_L$ 时，输入阻抗是多少？
- 主线输入端匹配，是否说明所有支路内部都没有驻波？
- 多段线题为什么建议从负载端往源端算？
- 求 $Z_{\mathrm{in}}=\infty$ 和求 $Z_{\mathrm{in}}=0$ 时，输入阻抗公式分别看哪里？
- 若 $A$、$B$ 相距 $\lambda/4$，为什么说 $\bar Z_A=\bar Y_B$ 而不是 $\bar Z_A=\bar Z_B$？
- 已知驻波比和第一波节位置，反推负载时先求什么？
答案
- 并联结点处各支路电压相同，电流相加；导纳定义为 $Y=I/U$，所以总导纳可以直接写成 $Y_{\mathrm{tot}}=Y_1+Y_2+\cdots$。如果用阻抗，需要先取倒数再相加。
- 若这段 $\lambda/4$ 线的特性阻抗为 $Z_c$，则 $Z_{\mathrm{in}}=Z_c^2/R_L$。如果它是用于把纯电阻 $R_L$ 匹配到主线 $Z_0$ 的变换段，常选变换段特性阻抗 $Z_{c1}=\sqrt{Z_0R_L}$。
- 不一定。主线输入端匹配只说明从输入端看整个网络等于主线特性阻抗；某些支路内部仍可能因为自己的终端不匹配而存在局部反射和驻波。
- 因为每一段传输线的输入阻抗都由它终端接的东西决定。负载端是已知起点，先算最末段，再把结果当作上一段负载，才能逐段化简到源端。
- 对有限 $Z_L$，$Z_{\mathrm{in}}=\infty$ 通常令分母 $Z_c+jZ_L\tan\beta l=0$；$Z_{\mathrm{in}}=0$ 通常令分子 $Z_L+jZ_c\tan\beta l=0$。解完还要在 $(0,\lambda/2)$ 内选最短正线长。
- 因为 $\lambda/4$ 段给出 $Z_A=Z_c^2/Z_B$。两边除以 $Z_c$ 后得到 $\bar Z_A=1/\bar Z_B$，而归一化导纳定义为 $\bar Y_B=Y_BZ_c=1/\bar Z_B$。所以相等的是 $\bar Z_A$ 和 $\bar Y_B$。
- 先由 $\rho$ 求 $|\Gamma_L|=(\rho-1)/(\rho+1)$，再用波节位置确定 $\Gamma_L$ 的相位，最后代入 $Z_L=Z_c(1+\Gamma_L)/(1-\Gamma_L)$。
上一阶段：Lec01-Lec05 · 传输线基础 · 下一讲：Lec07。