02 · 单模工作区与全介质填充§

本节你要能回答什么§

1. 「只传输 $\mathrm{TE}_{10}$」在空气填充时，如何用 $\lambda_0$ 与 $a,b$ 写出一组不等式？
2. 典型标准波导 $a>2b$ 时，单模窗 的高次模边界常由谁决定？
3. 全填充 $\varepsilon_{\mathrm r}>1$（$\mu_{\mathrm r}=1$）时，各模 $f_{\mathrm c}$ 如何相对空气缩放？用 $\lambda_0$ 表示门槛时要怎么改？

零基础读前翻译§

“单模工作区”就是只让主模 $\mathrm{TE}_{10}$ 通过，其他高次模都还没打开。它有两层要求：

• 主模要能传：工作频率要高于 $\mathrm{TE}_{10}$ 的截止频率，等价地空气中 $\lambda_0<2a$。
• 高次模不能传：工作频率还不能高到把 $\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}$ 等打开。

介质填充时不要说“波导尺寸变了”。几何没变，$k_{\mathrm c}$ 仍由 $a,b,m,n$ 决定；变的是同一频率下介质中的 $k$ 变大，所以各模更容易导行，截止频率会降低。

直觉：先让主模能传，再掐死所有高次模§

$\mathrm{TE}_{10}$ 要能传：空气中 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c,10}=2a$。其它每一个可能导行的高次模都要 不能传：空气中 $\lambda_0\ge\lambda_{\mathrm c,mn}$。实用上先检查与主模「挨得最近」的低次模。

这就是单模窗的白话版：主模已经开门，高次模还没开门。

图：工作频率高于 $\mathrm{TE}_{10}$ 截止、低于最近高次模截止时，只传主模；再升高就可能进入多模区。

判据（空气）§

$\mathrm{TE}_{10}$ 可传：$\lambda_0<2a$。

在 $a>2b$（如 BJ-100 / WR-90：$a=22.86\,\mathrm{mm},\ b=10.16\,\mathrm{mm}$）时，$\mathrm{TE}_{20}$ 的 $\lambda_{\mathrm c}=a$ 大于 $\mathrm{TE}_{01}$ 的 $2b$，故 单模波长带 的下界常由 $\mathrm{TE}_{20}$ 决定。常用写法（仍需与 $\mathrm{TE}_{11}$/$\mathrm{TM}_{11}$ 等一并核验）：

$$ a<\lambda_0<2a $$

并需保证 $\lambda_0$ 不小于 其它高次模的 $\lambda_{\mathrm c}$。如果某个高次模的 $\lambda_{\mathrm c}$ 比 $a$ 更大，就要用那个更严格的下界（见作业 第 6 题 数值）。

全填充介质（$\varepsilon_{\mathrm r}>1$，$\mu_{\mathrm r}=1$）§

几何不变 $\Rightarrow$ $k_{\mathrm c}$ 不变，所以几何意义下的 $\lambda_{\mathrm c}=2\pi/k_{\mathrm c}$ 也不变。但 $k=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$，故各模截止频率相对空气：

$$ f_{\mathrm c,\,\varepsilon}=\frac{f_{\mathrm c,\,air}}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}}. $$

如果题目坚持用自由空间波长 $\lambda_0$ 比较门槛，则等效条件是

$$ \lambda_0<\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}\,\lambda_{\mathrm c,mn}. $$

对固定工作频率，介质使各模 $f_{\mathrm c}$ 降低（更容易「被激活」）。若仍要求“只传 $\mathrm{TE}_{10}$”，高次模也更容易被打开，所以可用的单模频率窗口通常变窄。答题时对 $\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}$ 等逐一代入不等式。

深入理解：单模窗口是在开主模、关高次模§

判断单模时，不要把“主模能传”当成终点。真正的逻辑是两步同时成立：

$$ k>k_{\mathrm c,10} $$

并且对每一个竞争高次模都有

$$ k<k_{\mathrm c,mn}. $$

用频率说，就是工作频率已经超过 $\mathrm{TE}_{10}$ 的 $f_{\mathrm c}$，但还没有超过最近高次模的 $f_{\mathrm c}$；用自由空间波长说，就是 $\lambda_0$ 已经小到能打开主模，但还不能小到打开高次模。因为频率升高对应 $\lambda_0$ 变短，所以写波长不等式时特别容易把方向写反。

矩形波导里 $\mathrm{TE}_{10}$ 的截止最低，通常先被打开；但第二个被打开的模不一定永远是 $\mathrm{TE}_{20}$。它取决于 $a/b$ 的比例。标准波导常见 $a>2b$ 时，$\mathrm{TE}_{20}$ 的截止波长 $a$ 往往大于 $\mathrm{TE}_{01}$ 的 $2b$，所以最近高次模常由 $\mathrm{TE}_{20}$ 决定，才得到常见的 $a<\lambda_0<2a$。如果题目换了尺寸比例，就必须重新比较候选高次模，不能直接背这个区间。

介质全填充时，最容易混淆的是“几何本征值”和“工作波数”。边界仍然决定同一组 $k_{\mathrm c,mn}$，所以横截面模谱没有因为均匀介质而换形；但同一频率下

$$ k=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}} $$

变大，更容易超过某个 $k_{\mathrm c,mn}$。这意味着介质不只帮助主模导行，也会帮助高次模导行。固定几何、固定工作频率下，原来空气中仍截止的高次模，加入高介电常数材料后可能被打开；因此全填充介质常常不是“更安全的单模”，而是可能让单模窗口收窄。

跟读一个审题小例子：若空气中某工作频率刚好位于 $\mathrm{TE}_{10}$ 与 $\mathrm{TE}_{20}$ 截止之间，它是单模；加入 $\varepsilon_{\mathrm r}=4$ 的均匀介质后，所有截止频率都降为原来的 $1/2$。这时不仅 $\mathrm{TE}_{10}$ 更容易传，$\mathrm{TE}_{20}$ 也可能变成可传。重新判定单模时，必须把候选高次模全部再算一遍。

草稿纸上怎么判单模窗口§

单模题在草稿纸上写两条不等式链，分别对应“开主模”和“关高次模”：

空气波导（常用写法）

1. 主模导行：$\lambda_0<2a$（或 $f>f_{\mathrm c,10}$）。
2. 高次模截止：$\lambda_0$ 大于各竞争模的 $\lambda_{\mathrm c}$。至少核对 $\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}$、$\mathrm{TM}_{11}$。
3. 合并成窗口：在草稿上画数轴，标出 $\lambda_0$、$2a$ 和各高次模 $\lambda_{\mathrm c}$，看 $\lambda_0$ 落在哪一段。

全填充介质

1. 几何 $\lambda_{\mathrm c,mn}$ 不变；$f_{\mathrm c,mn}$ 都除以 $\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$。
2. 若仍用空气 $\lambda_0$ 比较，门槛写成 $\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}\,\lambda_{\mathrm c,mn}$，不要改 $k_{\mathrm c}$ 公式里的 $a,b$。
3. 介质往往同时降低主模和高次模门槛，单模窗口可能变窄而不是变宽。

只写 $a<\lambda_0<2a$ 而不查 $\mathrm{TE}_{01}$ 是常见失分点。不等式方向也要与“$\lambda_0$ 变短才更容易打开模”一致。

三种结构单模条件对照§

串讲把矩形、圆、同轴的单模窗口写在一张表里；与上文矩形推导一致，圆/同轴口径如下。

同轴 TEM 无截止（$\lambda_c\to\infty$），单模问题是“别让 TE/TM 高次模打开”。常用设计 $b/a\approx2.3$ 得 $Z_0\approx50\,\Omega$，兼顾功率容量与衰减。

相关入口：p53 映射 · 同轴 TEM · 圆波导单模。

推导步骤（答题模板）§

1. 写出 $\lambda_{\mathrm c,10}=2a$，列 $\mathrm{TE}_{20},\mathrm{TE}_{01},\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}$ 的 $\lambda_{\mathrm c}$ 表达式或数值。
2. 写 $\lambda_0<2a$ 且 $\lambda_0$ 大于等于（或不小于）各高次模 $\lambda_{\mathrm c}$ 的不导行条件 —— 注意不等式方向与「只传主模」语义一致。
3. 若有 $\varepsilon_{\mathrm r}$，先缩放各 $f_{\mathrm c}$；若用 $\lambda_0$ 比较，则把门槛写成 $\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}\lambda_{\mathrm c,mn}$，不要把几何 $k_{\mathrm c}$ 改掉。

易错点§

1. 只写 $a<\lambda_0<2a$ 而不检查 $\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}$ 等更紧下界。
2. 介质填充时忘记 所有模 的 $f_{\mathrm c}$ 同步降低，只处理 $\mathrm{TE}_{10}$。
3. 把“几何 $\lambda_{\mathrm c}$ 不变”和“用自由空间 $\lambda_0$ 表示的截止门槛变大”混在一起。

逐题反查闭环§

本页已按 第三次作业 Lec13-Lec16 第 1、6 题 反查：单模工作区不是只让 $\mathrm{TE}_{10}$ 能传，还要让所有高次模截止。对常见 $a>b$ 且希望相邻高次模为 $\mathrm{TE}_{20}$ 的情形，教材常给出 $a/2<b<a$ 这类几何约束来保证单模窗口判断简单。

全介质填充时，几何本征值 $k_{\mathrm c}$ 不因均匀介质改变，但达到同一 $k_{\mathrm c}$ 所需频率降低，通常按 $f_{\mathrm c}'=f_{\mathrm c}/\sqrt{\varepsilon_r}$ 处理。不要把介质填充写成截止波长几何尺寸本身改变。

作业怎么答§

单模窗口题要同时写“开主模”和“关高次模”：

1. 先写 $\lambda_{\mathrm c,10}=2a$，主模导行条件为空气中 $\lambda_0<2a$。
2. 列出最接近主模的高次模，例如 $\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}$，并比较它们的截止门槛。
3. 写只传 $\mathrm{TE}_{10}$ 的条件：主模导行，同时所有竞争高次模截止。
4. 若标准几何满足 $a>2b$ 且最近高次模由 $\mathrm{TE}_{20}$ 决定，可写常见窗口 $a<\lambda_0<2a$，但要说明仍需核验其它高次模。
5. 若全填充介质，先写 $f_{\mathrm c}'=f_{\mathrm c}/\sqrt{\varepsilon_r}$，或用 $\lambda_0<\sqrt{\varepsilon_r}\lambda_{\mathrm c}$ 的口径比较。

不要只背单模区间；题目换了 $a/b$ 比例或介质后，最近高次模可能变化。

卡点急救§

Mini 自检题§

Q1：$\varepsilon_{\mathrm r}$ 增大时，同一几何下 $\mathrm{TE}_{10}$ 的 $f_{\mathrm c}$ 升高还是降低？

答：降低。均匀全填充、$\mu_{\mathrm r}=1$ 时，同一几何下 $k_{\mathrm c}$ 不变，但 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 变大；达到 $k=k_{\mathrm c}$ 所需的频率变低，所以

$$ f_{\mathrm c,\varepsilon}=\frac{f_{\mathrm c,air}}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}}. $$

注意所有模的截止频率都会按同样方式降低，不只是 $\mathrm{TE}_{10}$。

Q2：为什么“$\mathrm{TE}_{10}$ 能传”不等于“单模工作”？

答：$\mathrm{TE}_{10}$ 能传只说明工作点高于主模截止；单模还要求所有高次竞争模都低于导行条件，即仍处于截止。若 $\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$ 或 $\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}$ 也能传，系统就是多模。

Q3：介质全填充后，几何 $\lambda_{\mathrm c}=2\pi/k_{\mathrm c}$ 是否因为介质而改变？

答：在均匀全填充、几何不变的理想口径下，$k_{\mathrm c}$ 和几何 $\lambda_{\mathrm c}$ 由边界和尺寸决定，本身不变。改变的是同一频率下的介质波数 $k$，因此用自由空间波长或截止频率表达门槛时会出现缩放。

相关链接§

• 上一节：01-kc与模谱主模TE10与简并.md
• 下一节：03-λg相速群速与工程算例.md
• 作业第 1 题：第三次作业解答 · Lec13–Lec16