Lec03 · 反射系数、驻波比与输入阻抗§
本节先抓住一句话§
负载不等于传输线自己的 $Z_c$ 时，一部分波会被“弹回来”。反射系数 $\Gamma$ 记录这股反射波的大小和相位，驻波比 $\rho$ 只记录反射强弱，输入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}$ 则把某个截面后面的整段线等效成一个阻抗。
读完本节，你要形成四个动作：先确定参考面，再判断有没有反射，再把 $\Gamma$ 的模长和相位分开处理，最后才把同一参考面上的 $\Gamma$ 换成 $Z_{\mathrm{in}}$。顺序错了，公式本身对也容易代错位置。
图：入射波到达不匹配负载后产生反射，二者叠加形成波腹和波节；$\Gamma$ 管反射强弱与相位，$\rho$ 只管强弱。
零基础读前翻译§
这一讲容易混，是因为同一个物理现象被三个量从不同角度描述：
- $\Gamma$：问“反射回来的波有多大、晚了或早了多少相位？”
- $\rho$：只问“线上电压起伏有多严重？”
- $Z_{\mathrm{in}}$：问“站在某个位置往负载方向看，整段线像一个多大的阻抗？”
先把这三句话分开，后面的公式就不再像一堆互相替代的符号。$\Gamma$ 信息最多，既有大小又有相位；$\rho$ 信息最少，只保留反射强弱；$Z_{\mathrm{in}}$ 是工程上最方便接到电路里的等效量。
还要先记住一个词：参考面。参考面就是你选择“站在哪里看”的截面。参考面一移动，$Z_{\mathrm{in}}$ 通常会变，因为你看到的线长变了；但 $Z_c$ 不变，因为它是这条线本身的结构参数。
这一讲所有错误几乎都和参考面有关。$\Gamma_L$ 是负载处的反射系数，$\Gamma(z)$ 是离负载 $z$ 处的反射系数，$Z_{\mathrm{in}}(z)$ 也是同一个 $z$ 处看进去的阻抗。把负载处的 $\Gamma_L$ 直接塞进某个中间截面的 $Z_{\mathrm{in}}$ 公式，就是把两个参考面混在了一起。
反射系数 $\Gamma$§
在某个参考面上，电压反射系数定义为
$$ \Gamma=\frac{U^-}{U^+}. $$
它是复数，所以同时包含两件事：
- $|\Gamma|$：反射波幅度相对于入射波有多大。
- $\angle\Gamma$：反射波相位相对于入射波差多少。
负载处常用
$$ \Gamma_L=\frac{Z_L-Z_c}{Z_L+Z_c}. $$
这个式子很重要，因为它把“负载是否匹配”变成了一个复数：
- $Z_L=Z_c$ 时，$\Gamma_L=0$，无反射。
- 开路时，$\Gamma_L=+1$。
- 短路时，$\Gamma_L=-1$。
这里的 $+1$ 和 $-1$ 不是“反射强弱不同”，因为它们的模长都等于 1，都是全反射。区别在相位：开路处电压反射同相，短路处电压反射反相。后面判断波腹、波节时，真正用到的就是这种相位差。
沿线移动时，$\Gamma$ 怎么变§
本套讲义采用 $z$ 从负载向源的约定。无耗线上常写
$$ \Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}. $$
重点有两个：
- 无耗线上 $|\Gamma(z)|=|\Gamma_L|$，也就是反射强弱不变。
- 相位会随 $z$ 旋转，而且是 $2\beta z$，不是 $\beta z$。
为什么是 2 倍？因为反射关系比较的是入射波和反射波，两者沿相反方向传播，参考面移动一段距离，相对相位改变了两倍。
可以把这句话写成草稿上的相位账：参考面离负载远了 $z$，入射波到这个参考面和到负载之间多一段相位，反射波从负载返回这个参考面也多一段相位。两段都要计入相对相位，所以是 $2\beta z$。这也是 Smith 圆图沿线移动时常出现“双倍电长度”的原因。
驻波比 $\rho$§
驻波比定义为线上电压最大值与最小值之比：
$$ \rho=\frac{|U|_{\max}}{|U|_{\min}}. $$
无耗线中它与 $|\Gamma|$ 的关系是
$$ \rho=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}. $$
反过来，
$$ |\Gamma|=\frac{\rho-1}{\rho+1}. $$
注意：$\rho$ 只含 $|\Gamma|$，不含 $\Gamma$ 的相位。也就是说，只知道驻波比，不能唯一确定负载阻抗，还需要波腹/波节位置这类相位信息。
两个极端值要能马上读出来：匹配时 $|\Gamma|=0$，所以 $\rho=1$；全反射时 $|\Gamma|=1$，公式分母趋于 0，驻波比趋于无穷大。中间的行驻波满足 $0<|\Gamma|<1$，因此 $1<\rho<\infty$。
三者互化：$Z_{\mathrm{in}}\leftrightarrow\Gamma\leftrightarrow\rho$ 一一对应（同一参考面）；$|\Gamma|\in[0,1]$，$\rho\in[1,\infty)$。
输入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}$§
输入阻抗是“站在某个位置，向负载方向看进去”的等效阻抗：
$$ Z_{\mathrm{in}}(z)=\frac{U(z)}{I(z)}. $$
它和该处反射系数之间有一个非常常用的关系：
$$ Z_{\mathrm{in}}(z)=Z_c\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}. $$
归一化后更清楚：
$$ \bar Z_{\mathrm{in}}(z)=\frac{Z_{\mathrm{in}}(z)}{Z_c} =\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}. $$
这个式子就是后面 Smith 圆图的底层逻辑。圆图不是新物理，它只是把 $\Gamma$ 和归一化阻抗的关系画出来。
如果题目直接给负载和线长，也常用同一件事的另一种写法：
$$ Z_{\mathrm{in}}(z)=Z_c \frac{Z_L+jZ_c\tan\beta z}{Z_c+jZ_L\tan\beta z}. $$
这条公式里的 $z$ 仍然是从负载向源量到输入参考面的距离。它不是新定义，只是把 $Z_L$、线长和 $Z_c$ 直接合在一起，省去先求 $\Gamma(z)$ 的中间步骤。
三个推论：
- 向源变换：已知距负载 $l$ 处阻抗 $Z_A$，再向源走 $l'$，把 $Z_A$ 当“虚拟负载”代入上式。
- 反求负载：已知中间点 $Z_A$ 与距负载距离 $d$，可解出 $Z_L$。
- 匹配点：某点 $Z_{\mathrm{in}}=Z_c$ 时该处 $\Gamma=0$（行波截面上）。
草稿纸上怎么连三类量§
做 Lec03 题时，最稳的草稿顺序是从信息最多的量开始：
- 若已知 $Z_L$，先求负载面 $\Gamma_L=(Z_L-Z_c)/(Z_L+Z_c)$。
- 若已知 $\rho$，先求 $|\Gamma|=(\rho-1)/(\rho+1)$，并标出“还缺相位”。
- 若题目给某点位置，用 $\Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}$ 在参考面之间搬运。
- 到了目标参考面后，再用 $Z_{\mathrm{in}}=Z_c(1+\Gamma)/(1-\Gamma)$ 或 $\tan\beta z$ 公式求阻抗。
这四步的核心不是记公式，而是守住“同一参考面”。同一个 $z$ 处的 $\Gamma(z)$ 和 $Z_{\mathrm{in}}(z)$ 可以互换；不同位置的量必须先沿线移动，不能混代。
$\lambda/2$ 重复性§
因为无耗线沿线移动时 $\Gamma(z)$ 的相位按 $2\beta z$ 转：
$$ z\to z+\frac{\lambda}{2} \quad\Rightarrow\quad 2\beta z\to 2\beta z+2\pi. $$
相位转了一整圈，所以 $\Gamma$ 回到原值，$Z_{\mathrm{in}}$ 也回到原值。
这就是传输线输入阻抗的 $\lambda/2$ 周期性：
$$ Z_{\mathrm{in}}\left(z+\frac{\lambda}{2}\right)=Z_{\mathrm{in}}(z). $$
波腹和波节§
线上电压最大的位置叫电压波腹，最小的位置叫电压波节。
- 波腹处，入射波和反射波电压相长。
- 波节处，入射波和反射波电压相消。
- 相邻两个电压波腹之间距离是 $\lambda/2$。
- 相邻电压波腹和波节之间距离是 $\lambda/4$。
做反演负载题时，驻波比给你 $|\Gamma|$，波节位置给你 $\angle\Gamma$，两者合起来才能得到负载。
还要注意“波节”不一定等于电压为零。只有 $|\Gamma|=1$ 的纯驻波，波节处才能完全抵消到零；若 $0<|\Gamma|<1$，反射波比入射波小，最小点仍然有非零电压。作业写“波节”时，更准确的理解是电压幅值最小点。
深入理解：三个量是同一反射现象的三种投影§
负载不匹配时，线上同时存在入射波和反射波。这个事实本身最完整地写在反射系数里：
$$ \Gamma=\frac{U^-}{U^+}. $$
它是复数，所以既记录反射有多强，也记录反射波相位相对入射波差多少。参考面移动时，入射波和反射波朝相反方向传播，相对相位会多转一倍，因此沿线关系里出现 $2\beta z$。
驻波比 $\rho$ 是把复数 $\Gamma$ 压缩成一个实数。它只看最大电压和最小电压的比值：
$$ \rho=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}. $$
因此 $\rho$ 很适合描述匹配好坏，却不适合单独反推出负载。两个负载可能有相同 $|\Gamma|$，也就是相同驻波比，但相位不同，实际阻抗完全不同。
输入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}$ 则是把同一个反射状态翻译成电路语言：
$$ Z_{\mathrm{in}}=Z_c\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}. $$
站在不同参考面，$\Gamma$ 的相位不同，看到的 $Z_{\mathrm{in}}$ 就不同；但同一参考面上，$\Gamma$ 和 $Z_{\mathrm{in}}$ 是一一对应的。Smith 圆图本质上就是把这个一一对应画出来。
跟读一个最小例子：只给 $\rho=2$，你只能写 $|\Gamma|=1/3$；若再给第一个电压波节离负载的距离，才得到相位；相位和模长合起来，才能通过双线性公式算出 $Z_L$。
逐题反查闭环§
本页已按 第一次作业 · Lec03 和符号导读反查：本册采用 $z$ 从负载指向源 的约定，因此无耗线沿线移动写作 $\Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}$。这个符号方向必须和后面的 Smith 圆图“向源旋转”保持一致。
$\rho=(1+|\Gamma|)/(1-|\Gamma|)$ 只给反射强弱，不给相位；要反推 $Z_L$，还必须使用波腹/波节相对负载的位置。输入阻抗式 $Z_{\mathrm{in}}=Z_c(1+\Gamma)/(1-\Gamma)$ 的前提是同一参考面上的 $\Gamma$，不能把负载处 $\Gamma_L$ 直接代入任意位置。
作业怎么答§
Lec03 的题通常按这个顺序写更稳：
- 先由 $Z_L$ 算 $\Gamma_L$，或由 $\rho$ 算 $|\Gamma|$。
- 若给了位置，写 $\Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}$。
- 由 $\Gamma(z)$ 算 $Z_{\mathrm{in}}(z)$。
- 最后再解释匹配、波腹、波节或周期性。
对应题解见 第一次作业 · Lec03。
Mini 自检§
- $\rho=3$ 时，$|\Gamma|$ 是多少？
- 只知道 $\rho$，能不能唯一确定 $Z_L$？
- 为什么 $Z_{\mathrm{in}}$ 随位置变，而 $Z_c$ 不随位置变？
- 为什么输入阻抗是 $\lambda/2$ 周期，而不是 $\lambda$ 周期？
答案
- 由 $|\Gamma|=(\rho-1)/(\rho+1)$，得到 $|\Gamma|=(3-1)/(3+1)=0.5$。
- 不能。$\rho$ 只能给出 $|\Gamma|$，还缺 $\angle\Gamma$；没有相位信息，就不知道波腹/波节相对负载的位置，因此不能唯一确定 $Z_L$。
- $Z_c$ 由传输线截面结构和介质决定，是线自己的参数；$Z_{\mathrm{in}}$ 是从某个参考面往负载方向看进去的等效阻抗，参考面一变，参与等效的线长就变，所以一般会随位置变。
- 因为参考面移动时 $\Gamma$ 的相位变化是 $2\beta z$。当 $z$ 增加 $\lambda/2$ 时，$2\beta z$ 增加 $2\pi$，$\Gamma$ 回到原值，$Z_{\mathrm{in}}$ 也随之重复。