03 · 微带线准 TEM 与有效介电常数§
本节先抓住一句话§
微带线由"导体带 + 介质基片 + 接地板"组成。它的"主模"看起来像 TEM——电场基本横向、磁场基本横向——但因为电磁场跨在两种介质里（空气和基片介质），严格的 TEM 数学条件不成立。我们叫它准 TEM，并用一个等效相对介电常数 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 把它当 TEM 来近似处理。
图：微带场线一部分在空气中，一部分在介质中。若强行要求纯 TEM，同一传播常数 $\beta$ 无法同时满足两种介质的相速要求，所以实际只能是准 TEM。
零基础读前翻译§
微带线可以先想成“PCB 上面一条铜带，下面一整片地”。它看起来也是双导体，所以低频时很像 TEM 传输线；但它和同轴线有一个关键差别：同轴线周围通常是同一种介质，微带线的场一部分在空气里，一部分在基片里。
因此本节的核心不是背更多模式名，而是接受一个工程近似：
- 真正的 TEM 要求整个横截面只有一种传播速度。
- 微带线横跨空气和介质，严格 TEM 不成立。
- 低频时纵向场很小，可以把它近似成 TEM，并用 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 表示“平均起来像多大的介电常数”。
看到 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 时不要把它当材料常数。它是几何和材料共同决定的等效量，必须落在 $1$ 和 $\varepsilon_r$ 之间。
为什么不能是纯 TEM§
纯 TEM 模要求：所有沿 $z$ 方向传播的波，相速都等于该填充介质的 $1/\sqrt{\mu\varepsilon}$。
微带线场分布跨过两种介质： - 上方空气：$\varepsilon=\varepsilon_0$，相速 $=c$。 - 下方基片：$\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$，相速 $=c/\sqrt{\varepsilon_r}$。
如果硬要 TEM，那两个区域必须用不同的 $\beta$，但同一个模沿 $z$ 只能有一个 $\beta$。结论是：严格 TEM 在微带不可能存在，必须有少量纵向场分量 $E_z$、$H_z$（量级远小于横向）来"调和"两个区域，让最终的 $\beta$ 落在 $k_0$ 与 $k_0\sqrt{\varepsilon_r}$ 之间。
准 TEM 的工程定义§
低频时（远低于第一个高阶模截止），微带主模的纵向场量很小，整体行为非常接近 TEM。我们把它定义为准 TEM：
- 横向场图像与 TEM 几乎一样，可以画"集中在带子下方介质中"的电力线。
- 沿 $z$ 的相速介于 $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ 和 $c$ 之间。
- 把整个微带等效成一根均匀填充某种"等效介质"的传输线，这个等效介质的相对介电常数就是 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$。
等效相对介电常数 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$§
定义：把准 TEM 模的实际相速映射到一个均匀填充的等效 TEM 线时所需的相对介电常数：
$$ v_{\mathrm p}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}, \qquad \lambda=\frac{\lambda_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}. $$
物理边界：
$$ 1<\varepsilon_{\mathrm{eff}}<\varepsilon_r. $$
- 极限 1：场全在空气中（基片很薄、$\varepsilon_r$ 接近 1）。
- 极限 $\varepsilon_r$：场全在基片中（导体很宽 $W\gg h$，电力线"扁平"地集中在基片里）。
工程上常见的窄/宽情况： - 窄带（$W/h$ 小）：$\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 偏小，趋近 $(\varepsilon_r+1)/2$。 - 宽带（$W/h$ 大）：$\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 偏大，趋近 $\varepsilon_r$。
常用工程近似（Hammerstad）：
$$ \varepsilon_{\mathrm{eff}}\approx\frac{\varepsilon_r+1}{2}+\frac{\varepsilon_r-1}{2}\,\frac{1}{\sqrt{1+12h/W}}. $$
记不住推导没关系，记住"加权平均"的画面：$\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 是空气和基片对场的"占比加权平均"。
图：$\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 位于 $1$ 与 $\varepsilon_r$ 之间；填充因子 $q$ 越大，说明更多场能量有效地处在介质区，传播越慢。
填充因子 $q$§
把 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 写成线性插值：
$$ \varepsilon_{\mathrm{eff}}=1+q(\varepsilon_r-1), \qquad q=\frac{\varepsilon_{\mathrm{eff}}-1}{\varepsilon_r-1}. $$
$q$ 称为填充因子，取值 $0<q<1$，代表"场在基片介质中所占的有效比例"：
- $q\to 0$：场几乎全在空气，$\varepsilon_{\mathrm{eff}}\to 1$。
- $q\to 1$：场几乎全在基片，$\varepsilon_{\mathrm{eff}}\to\varepsilon_r$。
实际微带常见 $q$ 在 0.5–0.9 之间。$W/h$ 越大，$q$ 越接近 1。
特性阻抗近似式§
特性阻抗也可以用相同的"等效介质"想法写：先算"全空气线"的特性阻抗 $Z_{0,\mathrm{air}}$，再除以 $\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}$：
$$ Z_c=\frac{Z_{0,\mathrm{air}}}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}. $$
工程常用近似（Hammerstad，$W/h\le 1$）：
$$ Z_{0,\mathrm{air}}\approx 60\ln\!\left(\frac{8h}{W}+\frac{W}{4h}\right). $$
$W/h\ge 1$ 时换另一支公式。具体推导和分支不强求，做题时直接查图或用 EM 仿真。
频率上限：色散、高阶模与表面波§
微带准 TEM 的上限不能只看一个「截止频率」。本节把它拆成三类风险：
- 准 TEM 弱色散变明显：频率升高后，纵向场分量比例增加，$\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 和 $Z_c$ 不再能当常数用。本节给出的经验口径是：5 GHz 以上，普通准静态公式与实测差距会变明显，尤其是厚基片和高介电常数基片。
- 导带与接地板之间出现波导模：最低 TE/TM 高阶模由 $W$、$h$ 和 $\varepsilon_r$ 控制。抑制思路很直接：$W$、$h$ 不能相对工作波长太大。
- 介质基片支持表面波：表面波沿接地板表面传播，不再只跟着微带导带走，会带来辐射、串扰和强耦合。
表面波里要特别注意 $\mathrm{TM}_0$：它通常没有可用的低频截止门槛，不能靠“低于某个 $f_c$”彻底消除。工程上真正要避免的是表面波相速和准 TEM 相速接近时的强耦合区。换句话说，微带高频设计不是只算一个截止频率，而是同时压低基片厚度、控制 $W/h$、选合适 $\varepsilon_r$，并在 EM 仿真或实测中确认没有明显表面波泄漏。
一句话：低频可以把微带当准 TEM；频率升高后，要把它重新看成半开放介质波导。
草稿纸上怎么算微带准 TEM 量§
微带题草稿纸先写 半填充，再按四步走：
- 合法性：不是严格 TEM；低频弱色散下才用准 TEM 近似。
- $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$：$\varepsilon_{\mathrm{eff}}=1+q(\varepsilon_r-1)$，检查 $1<\varepsilon_{\mathrm{eff}}<\varepsilon_r$。算出超界先查 $W/h$ 和 $q$。
- 相速与波长：$v_p\approx c/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}$，$\lambda\approx\lambda_0/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}$。不要直接用材料 $\varepsilon_r$。
- $Z_c$：用 $W,h,\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 的近似式或查图；频率升高后常数 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 可能不再适用。
高频风险在草稿边缘列三项：准 TEM 色散变明显、导带-地板间高阶模、表面波（尤其 $\mathrm{TM}_0$ 无低频截止）。题目若进入这些区，结论应写“超出准静态近似”，不要硬套一个 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 走到底。
易错点§
- 把准 TEM 当纯 TEM 用，套 $v_p=c/\sqrt{\varepsilon_r}$——错。应该套 $v_p=c/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}$。
- 把 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 当成与 $W$、$h$ 无关的纯材料量——它与几何相关，是有效场分布的加权。
- 忘记 $1<\varepsilon_{\mathrm{eff}}<\varepsilon_r$ 的边界，算出 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}>\varepsilon_r$ 或 $<1$ 一定是公式代错。
- 把"准 TEM 没色散"当成结论——准 TEM 低频近似无色散，但频率升高就有弱色散，且会激发表面波。
一致性复核§
本页已按 第四次作业 · Lec19-20 第 8、9 题 复核：微带线不是严格 TEM，因为场同时处在空气和介质中，纵向分量通常不能完全为零；工程上只在低频、弱色散条件下按准 TEM 处理。
有效介电常数使用 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}=1+q(\varepsilon_r-1)$ 时，必须保留边界 $1<\varepsilon_{\mathrm{eff}}<\varepsilon_r$。若题目进入明显色散、高阶模或表面波范围，不能继续只靠一个常数 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 描述全部行为。
Mini 自检§
Q1：为什么微带线主模不是严格 TEM？
答：因为微带线的电磁场同时分布在空气和基片介质中。空气中的波速接近 $c$，基片中的波速是 $c/\sqrt{\varepsilon_r}$。严格 TEM 要求同一个传播模只有一个 $\beta$，但两种介质会要求不同相速；实际场必须带有少量 $E_z$、$H_z$ 来满足边界条件，所以只能称为准 TEM。
Q2：同样基片 $\varepsilon_r=2.2$，$W/h=1$ 和 $W/h=10$ 哪个 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 大？为什么？
答：$W/h=10$ 更大。带线越宽，电力线越集中在基片中，场能量“看见”的介质比例更高；等效介电常数就更接近 $\varepsilon_r$。$W/h=1$ 时更多边缘场跑到空气里，$\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 会更低。
Q3：填充因子 $q=0.7$、$\varepsilon_r=4$，$\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 是多少？
答：直接代定义
$$ \varepsilon_{\mathrm{eff}}=1+q(\varepsilon_r-1) =1+0.7(4-1)=3.1. $$
结果 $3.1$ 在 $1$ 和 $4$ 之间，符合物理边界。
Q4：$\varepsilon_{\mathrm{eff}}=2.5$、$\varepsilon_r=4$ 的微带，相速是 $c$ 的多少倍？
答：准 TEM 近似下
$$ v_p=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}} =\frac{c}{\sqrt{2.5}} \approx0.632c. $$
注意这里用的是 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$，不是材料本身的 $\varepsilon_r=4$。
相关链接§
- 上一节：02 · 同轴线 TEM 与高阶模
- 下一节：04 · 从矩形到圆与微带的对照
- 作业：第四次作业 · Lec19-20 第 8、9 题
- 对照纯 TEM：同轴线 TEM