第二次作业 · Lec08–09 · 第 1 题§

对应知识点：03-并联支节匹配

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说明：本题为 并联单支节解析母题；数值题见第 4 题、第 5 题。导读与 $g=1$ 零基础 见 Lec08–09 总册。

第 1 题（并联单支节匹配的解析思路）§

（对应大纲《第二次教学大纲及作业》Lec08–09 作业 第 1 题；该讲「教材章节」建议对照 §1.6（或你班指定的阻抗匹配章节），版本以教材为准。）

题目复述§

特性阻抗 $Z_c$，负载 $Z_L$。推导并联单支节匹配时：支节接在距负载 $d$ 处、支节长度为 $l$ 的解析条件（给出过程即可）。

详细思路§

工程/物理目标：在距负载 $d$ 的并联结点，使 向源侧 等效为接在 $Z_c$ 馈线上的 行波状态，即结点 $Y_{\mathrm{tot}}=Y_c$（归一化 $\bar Y_{\mathrm{tot}}=1$）。这与 Lec06 中「反射系数为零、无附加反射」一致，本讲用 并联支节 在结点上实现该条件。

并联结构：结点处总导纳 = 主线向负载看的导纳 + 支路导纳：$Y_{\mathrm{tot}}=Y_{\mathrm{line}}+Y_{\mathrm{stub}}$。
主线段输入阻抗：长 $d$、终端 $Z_L$，

$$ Z(d)=Z_c\frac{Z_L+\mathrm{j}Z_c\tan\beta d}{Z_c+\mathrm{j}Z_L\tan\beta d},\quad Y(d)=\frac{1}{Z(d)}. $$

短路支节（特性阻抗亦为 $Z_c$）：$Z_{\mathrm{stub}}=\mathrm{j}Z_c\tan\beta l$，$Y_{\mathrm{stub}}=\dfrac{1}{Z_{\mathrm{stub}}}=-\mathrm{j}\dfrac{1}{Z_c\tan\beta l}=-\mathrm{j}Y_c\cot\beta l$，其中 $Y_c=1/Z_c$。
匹配条件：从结点向「源方向」看，若左侧为半无穷长 $Z_c$ 线，希望结点处总的导纳等于 $Y_c$（纯实），即

$$ Y(d)+Y_{\mathrm{stub}}=Y_c+\mathrm{j}0. $$

思路叙述：

把 $Y(d)=G(\beta d)+\mathrm{j}B(\beta d)$ 写成由 $Z_L$、$\tan\beta d$ 决定的复数；令实部 $G+\mathrm{Re}(Y_{\mathrm{stub}})=Y_c$、虚部 $B+\mathrm{Im}(Y_{\mathrm{stub}})=0$。因 $Y_{\mathrm{stub}}$ 为纯电纳，$\mathrm{Re}(Y_{\mathrm{stub}})=0$，实部方程化为 $G=Y_c$，由此解 $\tan\beta d$（可能多解）；再代入虚部方程得 $\tan\beta l$。

并联短路支节与主线的结点拓扑

图：结点处 $Y_{\mathrm{tot}}=Y_{\mathrm{line}}+Y_{\mathrm{stub}}$；主线一侧向负载、一侧向源。

拓扑图怎么读（零基础）§

这张图只回答「线怎么接」，没有画 Smith 圆，也不按真实比例画 $d$、$l$，只标方向与名称。

一根水平黑线 = 主传输线：分成左右两段，在中间与竖线相接。
左端负载 $Z_L$ 到匹配结点 的主线距离，就是题里的 $d$；它负责把主线导纳的实部调到 $g=1$。
右侧箭头 表示向信号源方向。匹配成功后，源侧看到的是 无反射的 $Z_c$ 行波状态。
匹配结点 是三通点：主线与短路支节在这里并联，所以列式用 导纳相加：$Y_{\mathrm{tot}}=Y_{\mathrm{line}}+Y_{\mathrm{stub}}$。
向下的短路支节 从结点一直量到短路端，这段长度是题里的 $l$；它负责提供 $-jb$，把结点虚部抵消掉。

和公式对齐：思路叙述里的 $Y(d)$ = 站在结点、朝负载看 进左边那段 $d$ 长线所见的导纳；$Y_{\mathrm{stub}}$ = 站在结点、朝下看 进短路支节的导纳。

解法一：公式（解析）§

物理意义（与 Lec06 衔接）：结点 $Y_{\mathrm{tot}}=Y_c$ 表示该处 不再向源反射（在左侧为半无穷 $Z_c$ 线的理想化下，主线上为行波）。代数上 先令 $\mathrm{Re}\,Y(d)=Y_c$ 再令虚部为零，对应「支节只提供纯电纳、只能事后抵消电纳，须先用线长 $d$ 把电导旋到 $Y_c$」。

一步步解答§

步骤 0（负荷导纳） 负载导纳 $Y_L=1/Z_L$；特性导纳 $Y_c=1/Z_c$（与本文记号一致）。

步骤 1（接入点向负载看的导纳） 由 $Z(d)=Z_c\dfrac{Z_L+\mathrm{j}Z_c t}{Z_c+\mathrm{j}Z_L t}$（$t=\tan\beta d$）取倒数得

$$ Y(d)=\frac{1}{Z_c}\cdot\frac{Z_c+\mathrm{j}Z_L t}{Z_L+\mathrm{j}Z_c t}. $$

等价写法（全用导纳） 把 $Z_L=1/Y_L$、$Z_c=1/Y_c$ 代入并整理，可得与上式同一结果的

$$ Y(d)=Y_c\,\frac{Y_L+\mathrm{j}Y_c\tan\beta d}{Y_c+\mathrm{j}Y_L\tan\beta d}. $$

记 $Y(d)=G(d)+\mathrm{j}B(d)$（或 $G(t)+\mathrm{j}B(t)$，$t=\tan\beta d$）。

步骤 2 将 $Y(d)$ 分实部、虚部（分母有理化后分离）。若已写成归一化 $\bar Y=Y/Y_c=g+\mathrm{j}b$ 且 $\bar Y_L=g_0+\mathrm{j}b_0$，则与第 4 题完全同形：

$$ \bar Y(d)=\frac{g_0+\mathrm{j}(b_0+t)}{(1-b_0 t)+\mathrm{j}g_0 t},\qquad \mathrm{Re}\,\bar Y(d)=\frac{g_0(1+t^2)}{(1-b_0 t)^2+(g_0 t)^2}, $$

$$ \mathrm{Im}\,\bar Y(d)=\frac{(b_0+t)(1-b_0 t)-g_0^2 t}{(1-b_0 t)^2+(g_0 t)^2} $$

（由 $\bigl[g_0+\mathrm{j}(b_0+t)\bigr]\bigl[(1-b_0 t)-\mathrm{j}g_0 t\bigr]$ 取虚部即得分子。）

由 $\bar Y=Y/Y_c$ 得 $G=Y_c\,\mathrm{Re}\,\bar Y$、$B=Y_c\,\mathrm{Im}\,\bar Y$。若坚持用 $Z_L$ 原始式，则把 $g_0+\mathrm{j}b_0=Z_c/Z_L$（因 $\bar Y_L=Y_L Z_c=Z_c/Z_L$）代入上式即可，不必另记一套展开。

步骤 3（匹配：先实后虚） 结点总导纳 $Y(d)+Y_{\mathrm{stub}}=Y_c$。

实部：短路支节 $Y_{\mathrm{stub}}=-\mathrm{j}Y_c\cot\beta l$ 无实部，故 $G(d)=Y_c=1/Z_c$ —— 由此 关于 $t=\tan\beta d$ 的实方程 解 $d$（常有两支 $t$，对应两组 $d$，再加 $\lambda/2$ 周期）。
虚部：需 $B_{\mathrm{stub}}=-B(d)$；对 短路支节 $Y_{\mathrm{stub}}=-\mathrm{j}Y_c\cot\beta l$，即 $\cot\beta l=B(d)/Y_c$，亦即

$$ \tan\beta l=\frac{Y_c}{B(d)}\quad(B(d)\neq 0). $$

（与下文 $B(t)-Y_c/\tan\beta l=0$ 同义。）

步骤 4 由选定的 $d$ 得 $B(d)$，再算 $l$；$d$、$l$ 均可加 $\lambda/2$ 周期，故 解不唯一。

标准解答§

并联匹配：$Y(d)+Y_{\mathrm{stub}}=Y_c$；由 $\mathrm{Re}\,Y(d)=1/Z_c$ 定 $d$（$t=\tan\beta d$），再由 $\tan\beta l=Y_c/B(t)$ 定支节长度 $l$；$d$、$l$ 均有 $\lambda/2$ 周期，解不唯一。
检验/注意： 并联匹配本质是「用主线段把 $Y$ 的实部调到 $Y_c$，用支节抵消电纳」。

解法二：圆图（Smith）§

在 导纳 Smith 图（$\Gamma$ 平面）上：$\mathrm{Re}\,\bar Y(d)=1$ 即落在 $g=1$（橙色轨迹），与 解法一 中 $G(t)=Y_c$ 同一步；定 $d$ 后读 电纳 $b$，短路并联支节 沿外圆提供 $-b$，与 $\tan\beta l=Y_c/B$ 同一件事。交卷可画草图标出「向源转至 $g=1$ → 读 $b$ → 支节抵消」三步与公式对应。

与解法一的对照

圆图操作	解析式
从 $\bar Y_L$ 沿等 $\\|\Gamma\\|$ 圆向源（顺时针）转至与 $g=1$ 相交	选 $d$ 使 $\mathrm{Re}\,Y(d)=Y_c$，即 $G(t)=Y_c$
交点处读归一化电纳 $b$	由 $Y(d)$ 的虚部 $B(t)$（与 $\bar b$ 对应）
从短路点沿外圆走支节	$\tan\beta l=Y_c/B(t)$（$B\neq 0$）

Lec08-1：并联单支节匹配的 $g=1$ 读图流程

读图说明（零基础）

整张圆图在画什么：仍是在 $\Gamma$ 平面（单位圆盘）上读 归一化导纳 $\bar Y=g+\mathrm{j}b$；与 Lec07 分册同一张坐标纸，只是本题关注导纳与 $g=1$。

按图内编号读一遍

① 负载导纳：先把负载换成 $\bar Y_L$，它一般不在图心，说明负载本身不匹配。
② 同一 $|\Gamma|$ 圆：沿无耗线移动时只改相位，点沿蓝色虚线圆走。
③ 转到 $g=1$：从负载沿同一圆向源顺时针转，碰到橙色 $g=1$ 轨迹时，电导实部已经合格，这一步确定接入距离 $d$。
④ 读 $b$：交点通常不是图心，而是 $\bar Y=1+\mathrm{j}b$，还差一个电纳虚部。
⑤ 支节补 $-b$：短路并联支节只提供纯电纳，用支节长度 $l$ 把 $b$ 抵消。
⑥ 回到匹配：总导纳变成 $\bar Y_{\mathrm{tot}}=1+\mathrm{j}0$，源侧才看到匹配。

再记四条

黑色外圆周：$|\Gamma|=1$；并联短路支节 只提供纯电纳，在图上常沿 最外圆 移动。
图心十字（若有）：理想 匹配点 $\bar Y=1$（$g=1$ 且 $b=0$）；本题交点一般在 橙线上但不在圆心，所以要靠 外圆支节 再走到圆心。
向源为什么顺时针：与符号与导读一致，向源 = 顺时针，对应主线从负载往源方向加长 $d$。
自检：用 解法一 的 $G(t)=Y_c$ 核对 $d$；用 $\tan\beta l=Y_c/B$ 核对 $l$；注意 $\lambda/2$ 周期带来的多解。

常见疑惑点§

疑惑： 为什么先令 $\mathrm{Re}\,Y(d)=Y_c$，而不是先消虚部？解答： 短路支节只提供纯电纳，不改变结点导纳的实部；故必须先在距离 $d$ 上把主线导纳实部调到 $Y_c$，再用支节把虚部配平。
疑惑： 开路支节公式和短路支节差在哪里？解答： 开路支节 $Z_{\mathrm{stub}}=-\mathrm{j}Z_c\cot\beta l$，导纳为 $\mathrm{j}Y_c\tan\beta l$；与短路支节的 $-\mathrm{j}Y_c\cot\beta l$ 对调「$\tan$ / $\cot$」及符号，推导时勿混用。
疑惑： 式子写成 $B(t)-Y_c/\tan\beta l=0$ 怎么理解？解答： 因 $Y_{\mathrm{stub}}=-\mathrm{j}Y_c\cot\beta l=-\mathrm{j}Y_c/\tan\beta l$，虚部相加为 $B+\mathrm{Im}(Y_{\mathrm{stub}})=B-Y_c/\tan\beta l$，令其为零即得 $\tan\beta l=Y_c/B$（$B\neq 0$）。

同讲各题：1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

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