第二次作业 · Lec08–09 · 第 2 题§

对应知识点：03-并联支节匹配

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第 2 题§

（对应大纲 Lec08–09 作业 第 2 题；该讲教材章节 §1.6。）

题目复述§

线长 $32\,\mathrm{m}$，$Z_c=600\,\Omega$，$R_g=600\,\Omega$，$f=200\,\mathrm{MHz}$，$Z_L=(22-\mathrm{j}66)\,\Omega$；设 $v_p=c$。求 $\rho$、$|\Gamma_L|$、始端 $Z_{\mathrm{in}}$；若用 $\lambda/4$ 阻抗变换器匹配，求接入位置（距负载）与变换段特性阻抗 $Z_{0T}$。

详细思路§

工程/物理目标：先量化 失配程度（$\rho$、$|\Gamma_L|$）与 整条线 在始端的输入阻抗；再用 $\lambda/4$ 变换段 在某一截面把 纯阻 $R$ 翻转成 $Z_c$，使主馈线向负载侧看入接近匹配（与单支节「先满足实部条件」思想同类，此处体现为 $\mathrm{Im}\,Z(d)=0$ 再接变换器）。

1. $\lambda=v_p/f$，$\beta=2\pi/\lambda$。
2. $\Gamma_L=\dfrac{Z_L-Z_c}{Z_L+Z_c}$，$\rho=\dfrac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}$。
3. 长为 $L$ 的线：$Z_{\mathrm{in}}=Z_c\dfrac{Z_L+\mathrm{j}Z_c\tan\beta L}{Z_c+\mathrm{j}Z_L\tan\beta L}$。
4. $\lambda/4$ 变换器：在距负载 $d$ 处 $Z(d)$ 为纯阻 $R$ 时，插入 $Z_{0T}$ 的 $\lambda/4$ 段，使 $Z_{0T}^2/R=Z_c$（向源看入为 $Z_c$），故 $Z_{0T}=\sqrt{Z_c R}$。

思路叙述：

先算 $\lambda$、$\beta L$，再 $\Gamma_L$、$\rho$、$Z_{\mathrm{in}}$；$\lambda/4$ 变换器须在 $\mathrm{Im}\,Z(d)=0$ 的截面上接（与 第 1 题 中「实部先匹配」的同类思想）。匹配则扫描或解 $\mathrm{Im}\,Z(d)=0$ 得最小正 $d$，再算 $R=\mathrm{Re}\,Z(d)$ 与 $Z_{0T}$。

解法一：公式（解析）§

一步步解答§

波长与相移 $\lambda=c/f=1.5\,\mathrm{m}$，$\beta=2\pi/\lambda$；线长 $L=32\,\mathrm{m}$，电长度

$$ \frac{L}{\lambda}=\frac{32}{1.5}=21+\frac{1}{3},\qquad \beta L=2\pi\left(21+\frac{1}{3}\right)\equiv\frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}, $$

故 $\tan\beta L=\tan(2\pi/3)=-\sqrt{3}$（等价地：全长去掉整数个半波长后，有效线长为 $\lambda/3$）。

反射系数与驻波比

$$ \Gamma_L=\frac{Z_L-Z_c}{Z_L+Z_c}=\frac{22-66\mathrm{j}-600}{22-66\mathrm{j}+600}=\frac{-578-66\mathrm{j}}{622-66\mathrm{j}}, $$

$$ |\Gamma_L|=\frac{\sqrt{578^2+66^2}}{\sqrt{622^2+66^2}}\approx 0.930,\qquad \rho=\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}\approx 27.6. $$

（$\rho$ 即教材常写的 VSWR，也常记为 $S$。）

始端输入阻抗 用无耗线公式（$Z_L$ 在负载端，线长 $L$ 向源）：

$$ Z_{\mathrm{in}}=Z_c\,\frac{Z_L+\mathrm{j}Z_c\tan\beta L}{Z_c+\mathrm{j}Z_L\tan\beta L} =600\cdot\frac{(22-66\mathrm{j})+\mathrm{j}600(-\sqrt{3})}{600+\mathrm{j}(22-66\mathrm{j})(-\sqrt{3})}. $$

分子 $N=(22-66\mathrm{j})-\mathrm{j}600\sqrt{3}=22-\mathrm{j}(66+600\sqrt{3})$。

分母 $D=600+\mathrm{j}(22-66\mathrm{j})(-\sqrt{3})=600-\mathrm{j}\sqrt{3}\,(22-66\mathrm{j})=(600-66\sqrt{3})-\mathrm{j}22\sqrt{3}$。

将 $Z_{\mathrm{in}}=600\,N/D$ 一次性代入 $\sqrt{3}$ 数值（或保留根号用计算器/代数软件），得

$$ Z_{\mathrm{in}}\approx(133.48-\mathrm{j}1354.90)\,\Omega, $$

与书写为 $(133.5-\mathrm{j}1354.9)\,\Omega$ 一致（对线长极敏感，末位随有效数字取舍略有出入属正常）。

$\lambda/4$ 变换器接在哪？ 须在 $Z(d)$ 为纯电阻 的截面插入（$\mathrm{Im}\,Z(d)=0$，且通常取 $R>0$ 的 正实轴 点）。沿线用

$$ Z(d)=Z_c\,\frac{Z_L+\mathrm{j}Z_c\tan\beta d}{Z_c+\mathrm{j}Z_L\tan\beta d}, $$

令 $\mathrm{Im}\,Z(d)=0$。写 $Z(d)=Z_c\dfrac{N}{D}$，$N=Z_L+\mathrm{j}Z_c t$，$D=Z_c+\mathrm{j}Z_L t$。因 $Z_c>0$，$\mathrm{Im}\,Z(d)=0$ 等价于 $\mathrm{Im}\bigl(N D^\ast\bigr)=0$（分母 $|D|^2>0$ 不引入额外根）。代入 $Z_L=22-\mathrm{j}66$、$Z_c=600$ 展开得

$$ \mathrm{Im}(N D^\ast)=39600\,t^2+355160\,t-39600=0. $$

约去公因子 $40$：$990\,t^2+8879\,t-990=0$。两根为

$$ t_1=\frac{-8879+\sqrt{8879^2+4\cdot 990^2}}{2\cdot 990}\approx 0.11015,\qquad t_2\approx -9.0788. $$

• $t_1>0$：$\beta d=\arctan t_1$，$d=t_1/\beta=t_1\lambda/(2\pi)\approx 0.02619\,\mathrm{m}$；代回得 $Z(d)\approx 21.74-\mathrm{j}0\,\Omega$（电压波节附近小电阻，$R_{\min}\approx Z_c/\rho$ 量级）。
• $t_2<0$：取 $\beta d=\arctan t_2+\pi$ 得另一纯阻点 $d\approx 0.401\,\mathrm{m}$，$R\approx 1.66\times 10^4\,\Omega$（波腹大电阻）。

作业/教材常取 距负载最近 的 $t_1$ 解：$d\approx 0.0262\,\mathrm{m}$，$R\approx 21.74\,\Omega$（亦可在 Smith 阻抗图 上沿等 $|\Gamma|$ 圆向源第一次转到正实轴读出 $d/\lambda$ 互校）。

$$ Z_{0T}=\sqrt{Z_c R}\approx\sqrt{600\times 21.74}\approx 114.2\,\Omega. $$

另一组常见取法（波腹大电阻） 若改接在 电压波腹（高阻、纯实），则 $R_{\max}\approx \rho Z_c\approx 1.66\times 10^4\,\Omega$，$Z_{0T}'=\sqrt{Z_c R_{\max}}\sim 10^3\,\Omega$ 量级，工程上往往 过高；故作业/教材多取 距负载最近的纯阻点（上组 $d$、$Z_{0T}\approx 114\,\Omega$）。两解 数学上都成立，选用哪一组以题意与可实现性为准。

标准解答§

• $\lambda=1.5\,\mathrm{m}$，$|\Gamma_L|\approx 0.930$，$\rho\approx 27.6$，$Z_{\mathrm{in}}\approx(133.5-\mathrm{j}1354.9)\,\Omega$。

• $\lambda/4$ 变换器：$d\approx 0.0262\,\mathrm{m}$，$R\approx 21.74\,\Omega$，$Z_{0T}\approx 114.2\,\Omega$。

• 检验/注意： 负载与 $Z_c$ 相差大时 $\rho$ 很高；$\lambda/4$ 匹配须在电压波腹/波节附近找到实阻抗点。

解法二：圆图（Smith）§

图：本题 $\bar Z_L$ 靠近圆图左侧；顺时针转至 $\bar Z(d)\approx R$ 即 $\mathrm{Im}\,Z\approx 0$ 截面。

读图说明（零基础）

• 用阻抗图：本题沿线求 $Z(d)$ 与 $\lambda/4$ 翻转，全程在 阻抗 Smith 图（$\bar Z$）上读最顺。
• 红色负载点：$\bar Z_L=Z_L/Z_c$；蓝虚线等 $\|\Gamma\|$ 圆：$|\Gamma|$ 沿线不变，故 $Z(d)$ 在同圆上移动。
• 向源 = 顺时针：沿该圆顺时针走的弧长（波长刻度）= 距负载增加的电长度。
• 正实轴：$\bar Z$ 落在 实轴正半段 时 $\mathrm{Im}\,Z=0$ 且 $R>0$，即 $\lambda/4$ 变换器 应接位置；第一次碰到正实轴常对应 最小 $d$。
• $Z_{0T}$：在纯阻点 $\bar R$ 经 $\lambda/4$ 归一化关系 $\bar Z\to 1/\bar Z$（见附录 $\lambda/4$ 一行）与 $Z_{0T}=\sqrt{Z_c R}$ 对照。
• 自检：读出 $|\Gamma_L|$ 应与 解法一 $\approx 0.930$ 一致；$d$、$R$、$Z_{0T}$ 与公式数值互校。

圆图操作步骤

1. 归一化 $\bar Z_L=Z_L/Z_c=(22-\mathrm{j}66)/600$；在 阻抗圆图 上标负载点，其所在 等 $|\Gamma|$ 圆 与 $|\Gamma_L|\approx 0.930$ 一致。
2. 从负载点沿该圆 向源（顺时针） 移动，寻找 落在正实轴（$\bar Z$ 为正实数，即 $\mathrm{Im}\,Z=0$、$Z>0$）的截面；第一次出现处读 $d/\lambda\approx 0.0262/1.5\approx 0.0175$（即用 $d/\lambda$ 刻度），再乘 $\lambda=1.5\,\mathrm{m}$ 得 $d\approx 0.0262\,\mathrm{m}$，与解析一致。
3. 在该点读 $\bar R=R/Z_c$，得 $R\approx 21.7\,\Omega$；$\lambda/4$ 变换器 $Z_{0T}=\sqrt{Z_c R}$ 在圆图上对应：经 $\lambda/4$ 段把 $\bar R$ 变到 $1/\bar R$ 再按 $Z_c$ 反归一化（与公式 $\sqrt{Z_c R}$ 核对）。
4. 始端 $Z_{\mathrm{in}}$ 亦可理解为：从负载再沿等 $|\Gamma|$ 圆转 $L/\lambda=32/1.5$（取等效弧长模 $\lambda/2$）到始端参考面读 $\bar Z$，与 $(133.5-\mathrm{j}1354.9)\,\Omega$ 对照。

常见疑惑点§

• 疑惑： $\lambda/4$ 变换器为什么一定要接在 $Z(d)$ 为纯电阻的位置？解答： 无耗 $\lambda/4$ 段把负载 $R$ 变成 $Z_{0T}^2/R$；若该处 $Z(d)$ 含电抗，等效电路不是「纯阻接 $\lambda/4$」，不能简单用 $Z_{0T}=\sqrt{Z_c R}$ 一步写完，需按复阻抗设计或另选匹配网络。
• 疑惑： $d$ 取「第一个」使 $\mathrm{Im}\,Z(d)\approx 0$ 的点，还有别的 $d$ 吗？解答： 有；$\tan\beta d$ 周期为 $\pi$，沿线会反复出现近实阻抗截面，通常取距负载最近的正解以缩短结构尺寸。
• 疑惑： 本题 $Z_{\mathrm{in}}$ 虚部很大，算错了吗？解答： 线长 $32\,\mathrm{m}$ 相对 $\lambda=1.5\,\mathrm{m}$ 极长，$\beta L$ 很大，$Z_{\mathrm{in}}$ 对 $L$ 极敏感，数值上大幅摆动属预期。

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