04 · 从 $E_z$ 到全场的推导套路（$\mathrm{TM}$ 例 · $\mathrm{TM}_{11}$）§

本节你要能回答什么§

1. 为什么 TM 模常先求 $E_z$，再求 $E_x,E_y,H_x,H_y$？
2. 横截面上 $E_z$ 满足的二维方程为什么是 $(\nabla_t^2+k_{\mathrm c}^2)E_z=0$？
3. $\mathrm{TM}_{11}$ 的 $E_z$ 本征函数形式是什么？$k_{\mathrm c}$ 如何用 $a,b$ 表示？

零基础读前翻译§

这一讲最容易被一堆场分量吓住。不要把 $E_x,E_y,E_z,H_x,H_y,H_z$ 当成六个需要同时硬背的公式。对 TM 模来说，最稳的路线是先求 $E_z$，因为 TM 的定义就是 $H_z=0$、$E_z\neq 0$。

$E_z$ 像一颗种子：边界条件先决定它在横截面上长成什么形状；然后 Maxwell 方程告诉你，横向电场和磁场可以由 $E_z$ 对 $x,y$ 的偏导数组合出来。

做 $\mathrm{TM}_{11}$ 时先记住形状：

$$ E_z\propto \sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{b}. $$

两个正弦的原因很简单：四面金属壁上 $E_z=0$，正弦函数正好在边界为零。

直觉：纵向分量是「种子」§

TM 模 $H_z\equiv 0$，电场有纵向分量 $E_z\neq 0$。理想导体壁上 $E_z=0$ 给出对 $E_z$ 的 Dirichlet 边界，最容易先解出 $E_z$；再用 Maxwell 旋度关系把横向场写成 $\partial E_z/\partial x,\ \partial E_z/\partial y$ 的组合。

做 $\mathrm{TM}_{11}$ 推导时，不要一开始就试图同时猜六个场分量。更稳的路线是：先写 $E_z$，再求偏导，再套横向场公式。这样每一步都有来路，也更容易查错。

图里的关键不是记图案颜色，而是记推导方向：$E_z$ 的边界条件先确定正弦本征函数，横向场再由它对 $x,y$ 的偏导推出。这样可以避免把 $E_x,E_y,H_x,H_y$ 当成互不相关的四个公式硬背。

定义与符号表§

TM 模：$H_z=0$，$E_z\neq 0$。

纵向 Helmholtz（横截面上）：由 $\nabla^2 E_z+k^2 E_z=0$ 与行波 $\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 得

$$ \nabla_t^2 E_z + (k^2-\beta^2)E_z=0. $$

记 $k_{\mathrm c}^2=k^2-\beta^2$，则

$$ (\nabla_t^2+k_{\mathrm c}^2)E_z=0. $$

矩形域 TM 边界：$E_z|_{x=0,a}=0$，$E_z|_{y=0,b}=0$。

分离变量 $E_z(x,y)=X(x)Y(y)$，得 $k_x=m\pi/a,\ k_y=n\pi/b$（$m,n\ge 1$），且

$$ k_{\mathrm c}^2=k_x^2+k_y^2. $$

$\mathrm{TM}_{11}$（$m=n=1$）：

$$ E_z(x,y,z)=E_0\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{b}\,\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}, $$

$$ k_{\mathrm c}^2=\left(\frac{\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{\pi}{b}\right)^2,\qquad \beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2}\quad (k>k_{\mathrm c}). $$

横向场（与 $\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 约定配套的一种常用形式）：

$$ E_x=\frac{-\mathrm j\beta}{k_{\mathrm c}^2}\frac{\partial E_z}{\partial x},\quad E_y=\frac{-\mathrm j\beta}{k_{\mathrm c}^2}\frac{\partial E_z}{\partial y}, $$

$$ H_x=\frac{\mathrm j\omega\varepsilon}{k_{\mathrm c}^2}\frac{\partial E_z}{\partial y},\quad H_y=\frac{-\mathrm j\omega\varepsilon}{k_{\mathrm c}^2}\frac{\partial E_z}{\partial x}. $$

代入 $\mathrm{TM}_{11}$ 的 $E_z$ 与偏导即可写出 $E_x,E_y,H_x,H_y$ 显式（见标准解答）。

深入理解：种子场为什么能长出全场§

Maxwell 方程把电场和磁场绑在一起，不允许六个分量各自随便长。对规则波导，沿 $z$ 的变化已经由 $\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 固定，横截面上的变化则集中在 $E_z$ 或 $H_z$ 这个纵向种子场里。只要种子场满足横向 Helmholtz 方程和边界条件，它对 $x,y$ 的偏导就告诉我们：为了让旋度方程成立，横向电场和磁场必须怎样配合。

以 TM 模为例，$H_z=0$，非零的 $E_z$ 先由四壁边界定出形状。$\partial E_z/\partial x$ 表示纵向电场沿宽边方向变化得多快，$\partial E_z/\partial y$ 表示沿窄边方向变化得多快。横向磁场正是围绕这些电场变化“绕出来”的，所以公式中会出现

$$ H_x\propto \frac{\partial E_z}{\partial y},\qquad H_y\propto -\frac{\partial E_z}{\partial x}. $$

横向电场则与轴向传播相位有关，因此含有 $\beta$：

$$ E_x\propto -\mathrm j\beta\frac{\partial E_z}{\partial x},\qquad E_y\propto -\mathrm j\beta\frac{\partial E_z}{\partial y}. $$

这解释了为什么全场推导不能只停在 $E_z$。写出

$$ E_z=E_0\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{b}\,\mathrm e^{-\mathrm j\beta z} $$

只能说明纵向电场满足边界，也能给出 $k_{\mathrm c}$；但完整场还要告诉读者横向电场、横向磁场如何随 $x,y,z$ 变化。跟读检查很简单：若你的 $E_x,E_y,H_x,H_y$ 不是由同一个 $E_z$ 的偏导推出，而是分别硬写，很容易在某个边界或某条 Maxwell 旋度关系上不闭合。

草稿纸上怎么推 $\mathrm{TM}_{11}$ 全场§

$\mathrm{TM}_{11}$ 推导题建议在草稿纸中间只保留一条纵向种子场，横向分量全部从它长出来：

1. 写种子场：$E_z=E_0\sin(\pi x/a)\sin(\pi y/b)\,\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$，并在旁边注 $H_z=0$。
2. 先算 $k_{\mathrm c}$：$k_{\mathrm c}^2=(\pi/a)^2+(\pi/b)^2$，再写 $\beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2}$（先判 $k>k_{\mathrm c}$）。
3. 求两个偏导： $$\frac{\partial E_z}{\partial x},\qquad \frac{\partial E_z}{\partial y}.$$ 这一步最好真的写出来，不要跳步；很多符号错误都出在 $\sin\to\cos$ 的系数。
4. 套横向场模板（与 $\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 配套）： $$E_x=\frac{-\mathrm j\beta}{k_{\mathrm c}^2}\frac{\partial E_z}{\partial x},\quad E_y=\frac{-\mathrm j\beta}{k_{\mathrm c}^2}\frac{\partial E_z}{\partial y},$$ $$H_x=\frac{\mathrm j\omega\mu}{k_{\mathrm c}^2}\frac{\partial E_z}{\partial y},\quad H_y=\frac{-\mathrm j\omega\mu}{k_{\mathrm c}^2}\frac{\partial E_z}{\partial x}.$$
5. 闭合检查：四个横向分量是否都来自同一个 $E_z$；壁上 $E_z=0$ 是否仍满足；$H_z$ 是否处处为零。

考试书写时，至少让阅卷人看到第 3、4 步。只写六个分量的最终结果，很难证明你理解“纵向种子场 + 旋度关系”这条主线。

推导步骤（默写顺序）§

1. 声明 TM：$H_z=0$，解 $E_z$。
2. 写出 $(\nabla_t^2+k_{\mathrm c}^2)E_z=0$ 并说明 $k_{\mathrm c}^2=k^2-\beta^2$。
3. 分离变量 + 四壁 $E_z=0$ $\Rightarrow$ $k_x=m\pi/a,\ k_y=n\pi/b$。
4. 取 $(m,n)=(1,1)$ 写出 $E_z$。
5. 求 $\partial E_z/\partial x,\ \partial E_z/\partial y$。
6. 代入横向场公式得 $E_x,E_y,H_x,H_y$；注明 $H_z=0$。

如果考试要求“推导过程”，不要只写最后结果。至少要让阅卷人看到：边界条件为何给出 $\sin(\pi x/a)\sin(\pi y/b)$，以及横向场为何来自 $E_z$ 的偏导数。

与截止、色散、模式指标的挂钩§

• $k_{\mathrm c}$ 由 $(1,1)$ 与 $a,b$ 决定；工作频率升高使 $k$ 增大，直至 $k>k_{\mathrm c}$ 才导行。
• 系数 $E_0$ 由激励或功率归一化确定，作业常保留为常数。

易错点§

1. 时间因子：若教材用 $\mathrm e^{+\mathrm j\omega t}$，与 $\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 搭配时，检查各式中 $\pm\mathrm j$ 是否自洽。
2. 横向场公式必须与所用 $\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 及 Maxwell 频域形式一致，不同教材可能差符号，以所用教材为准。
3. $k_{\mathrm c}=0$：TM 不可能，因需非平凡 $E_z$ 本征解。

逐题反查闭环§

本页已按 第三次作业解答 · Lec10-Lec11 · $\mathrm{TM}_{11}$ 推导 反查：全场不是重新猜六个分量，而是先确定纵向“种子场” $E_z$ 或 $H_z$，再用 Maxwell 方程把横向分量表示成它的横向偏导。TM 例题中 $H_z=0$，所以 $E_z$ 的边界形式和 $k_{\mathrm c}$ 是推导起点。

作业书写时要保留三个检查：纵向分量是否满足边界条件，$k_{\mathrm c}^2$ 是否等于横向分离常数之和，横向场是否由同一个纵向场导出。若六个分量各自写成互不相干的形式，就很容易出现边界满足了但 Maxwell 方程不闭合的问题。

作业怎么答§

$\mathrm{TM}_{11}$ 全场推导题按“种子场 -> 偏导 -> 横向场”写：

1. 先声明 TM 模：$H_z=0$，先解 $E_z$。
2. 写出 $(\nabla_t^2+k_{\mathrm c}^2)E_z=0$ 和四壁 $E_z=0$。
3. 对 $\mathrm{TM}_{11}$ 写 $E_z=E_0\sin(\pi x/a)\sin(\pi y/b)\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$。
4. 写 $k_{\mathrm c}^2=(\pi/a)^2+(\pi/b)^2$，并由 $\beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2}$ 判断导行。
5. 求 $\partial E_z/\partial x$、$\partial E_z/\partial y$，再代入横向场公式得到 $E_x,E_y,H_x,H_y$。

若时间因子或传播因子与教材不同，卷面上要先说明约定，避免只改一个符号导致全式不自洽。

卡点急救§

Mini 自检题§

Q1：$\mathrm{TM}_{11}$ 的 $k_{\mathrm c}$ 与 $\mathrm{TE}_{11}$ 的 $k_{\mathrm c}$ 形式是否相同（矩形波导）？

答：对矩形波导，二者的 $k_{\mathrm c}$ 形式可以写成同一类：

$$ k_{\mathrm c}=\sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2}. $$

但 TE 与 TM 的场分布不同，边界条件施加在 $H_z$ 或 $E_z$ 上也不同；允许的 $m,n$ 范围也不同。TM 常要求 $m,n\ge 1$，而 TE 可出现 $m=0$ 或 $n=0$ 的模，如 $\mathrm{TE}_{10}$。

Q2：写出 $\partial E_z/\partial x$ 在 $\mathrm{TM}_{11}$ 下的结果。

答：若

$$ E_z=E_0\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{b}\,\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}, $$

则

$$ \frac{\partial E_z}{\partial x} =E_0\frac{\pi}{a}\cos\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{b}\,\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}. $$

这里只对 $x$ 求导，所以 $\sin(\pi y/b)$ 和 $\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 都保持不变。

Q3：为什么不能只写 $\mathrm{TM}_{11}$ 的 $E_z$ 就说“全场已求出”？

答：$E_z$ 只是纵向种子场。完整 TM 场还需要 $E_x,E_y,H_x,H_y$，这些横向分量由 $E_z$ 的横向偏导和 Maxwell 方程给出。只写 $E_z$ 可以说明边界和截止，但不能完整描述场分布和功率流。

相关链接§

• 上一节：03-矩形波导边界与截止（kc-fc-λc）.md
• 下一节：05-自检清单与常见误区.md
• 作业题 3 完整展开：第三次作业解答 · Lec10–Lec11 · 作业3