第三次作业（Lec13–Lec16）第 5 题：两种波导尺寸、四种工作波长§
对应知识点：03-导波波长相速群速算例
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大截面（2）中 14 / 38 等需对 $(m,n)$ 在合理截断内枚举 $\lambda_\mathrm c$ 并与 $\lambda_0$ 比；与 第4题、第10题 计数规则一致：$\mathrm{TE}$、$\mathrm{TM}$ 简并各算一种波型。
一、前置知识§
1. 专有名词§
- 能否传输（工程口语）：至少一个模满足 $\lambda_0 < \lambda_{\mathrm c,10}$ 时常说“能传”（至少主模可导行）；严格单模见 第1题、第6题。
- 可能存在的波型：在合理 $(m,n)$ 内，所有满足 $\lambda_0 < \lambda_{\mathrm c,mn}$ 的 $\mathrm{TE}$、$\mathrm{TM}$（$\mathrm{TM}$ 的 $m,n\ge 1$）均计入；$\mathrm{TE}_{11}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 分计。
- 大截面波导：$\lambda_\mathrm c$ 整体偏大，在同 $\lambda_0$ 下可导行的 $(m,n)$ 增多，计数常需枚举表或完整模表。
2. 核心公式§
- $\lambda_\mathrm c=2\pi/k_\mathrm c$ 与 主册 中 $k_\mathrm c$ 式— 角色：对每个 $(m,n)$ 比大小。
- $\lambda_0=10,8,3.2,2\,\mathrm{cm}$ 时须统一与 $\lambda_\mathrm c$ 的单位（cm 与 mm 勿混）。
二、分析思路§
- 对（1） BJ-100：尺寸小，先判 $\lambda_0$ 与 $\lambda_{\mathrm c,10}=2a$；若 $\lambda_0\ge 2a$，则连主模也不导行 → 不传输。
- 当 $\lambda_0 < 2a$，再递增看 $\mathrm{TE}_{20}$（$\lambda_\mathrm c=a$）、$\mathrm{TE}_{01}$（$\lambda_\mathrm c=2b$）等是否满足 $\lambda_0 < \lambda_\mathrm c$**。
- 对（2） 大波导：对给定 $\lambda_0$，在 $(m,n)$ 上界内（使 $\lambda_\mathrm c$ 仍与 $\lambda_0$ 可比）枚举所有满足 $\lambda_\mathrm c > \lambda_0$ 的模式，计数；表中 14 / 38 为完整枚举结果（答卷可附模式清单或比较表）。
- $3.2\,\mathrm{cm}$、$2\,\mathrm{cm}$ 在（1）中落在单模与多模的不同区间，与 $a,2b$ 的相对位置有关。
三、标准解答§
（1）$a\times b=22.86\times 10.16\,\mathrm{mm^2}$（BJ-100）§
| $\lambda_0$ | 能否传输 | 可能存在的波型（$\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$ 者） |
|---|---|---|
| $10\,\mathrm{cm}$ | 否 | —（$\lambda_0>2a$，$\mathrm{TE}_{10}$ 也不导行） |
| $8\,\mathrm{cm}$ | 否 | — |
| $3.2\,\mathrm{cm}$ | 是 | 仅 $\mathrm{TE}_{10}$ |
| $2\,\mathrm{cm}$ | 是 | $\mathrm{TE}_{10}$、$\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$（与 BJ-100 各模 $\lambda_\mathrm c$ 对照） |
（2）$a\times b=72.14\times 34.04\,\mathrm{mm^2}$（大截面）§
| $\lambda_0$ | 能否传输 | 可能存在波型数（同第4题规则） |
|---|---|---|
| $10\,\mathrm{cm}$ | 是 | 1（仅 $\mathrm{TE}_{10}$） |
| $8\,\mathrm{cm}$ | 是 | 1 |
| $3.2\,\mathrm{cm}$ | 是 | 14（应在答卷列出或附模式枚举表） |
| $2\,\mathrm{cm}$ | 是 | 38（同上） |
选做：将 $m,n$ 在合理截断内遍历；满足 $\lambda_\mathrm c>\lambda_0$ 的 $\mathrm{TE}$ 与 $\mathrm{TM}$ 均计入，其中 $\mathrm{TM}$ 要求 $m,n\ge 1$。
图示§
图：同一工作波长换到不同截面，导行结论可能完全不同。大截面问中的 14、38 等数量必须按 $(m,n)$ 枚举核验，图只展示判定流程。
四、与主册/他题衔接§
- （2）中 14 / 38 为与主册/作业标准一致的枚举答案；自证时要说明 $(m,n)$ 的截断规则，例如枚举到后续模的 $\lambda_\mathrm c$ 已小于 $\lambda_0$ 为止。