第三次作业（Lec13–Lec16）第 3 题：$a\times b=10\times 6\,\mathrm{mm^2}$，求 $\mathrm{TE}_{10}$、$\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{21}$ 的截止频率§
对应知识点：01-模谱主模与简并
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文首 $k_\mathrm c,\lambda_\mathrm c,f_\mathrm c$ 通式见 Lec13–Lec16 主册。
一、前置知识§
1. 专有名词§
- $k_\mathrm c$（截止波数） ：矩形波导模 $(m,n)$ 的横向本征值，由截面尺寸决定，与是否激励该模、工作频率无关（在均匀填充、理想导体壁模型下）。
- $f_\mathrm c$（截止频率） ：该模开始出现导行的最低工作频率，空气时 $f_\mathrm c=c\,k_\mathrm c/(2\pi)$。
- $\mathrm{TE}_{mn}$ / $\mathrm{TM}_{mn}$ 的指数 ：$\mathrm{TE}_{mn}$ 中 $m$ 或 $n$ 允许为 0（不同时为 0）。$\mathrm{TM}_{mn}$ 要求 $m,n\ge 1$。本题只出现 TE。
- $\pi/a$、$\pi/b$ 出现在 $k_\mathrm c$ 中：物理上是横截面驻波在 宽边/窄边 方向的空间变化率，代入公式时 $a,b$ 须与 $\mathrm{m\,,n}$ 一一对应。
2. 核心公式（含义）§
- $\displaystyle k_\mathrm c=\sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2}$ — 几何决定，量纲 m$^{-1}$。
- $\displaystyle f_\mathrm c=\frac{c}{2\pi}\,k_\mathrm c=\frac{c}{2\pi}\sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2}$ — 空气，量纲 Hz；本题取 $c=2.99792458\times 10^8\,\mathrm{m/s}$ 与主册/教材常值一致。
- 同一 $a,b$ 下，$(m,n)$ 不同则 $f_\mathrm c$ 不同；$\mathrm{TE}_{20}$ 的 $f_\mathrm c$ 是 $\mathrm{TE}_{10}$ 的两倍仅当同一边（此处沿 $a$ 的 $(1,0)$ 与 $(2,0)$）且同一 $a$ 成立。
二、分析思路§
- 把 10 mm、6 mm 换成 $\mathrm{m}$ 或全程 $\mathrm{mm}$ 与 $c$ 自洽。
- 对 $(1,0)$、$(2,0)$、$(2,1)$ 分别算 $k_\mathrm c$，再得 $f_\mathrm c$。
- 可检查 $\mathrm{TE}_{20}$ 的 $f_\mathrm c$ 是否约为 $\mathrm{TE}_{10}$ 的 2 倍（同一边主导）。
- 用 2～4 位有效数字与教材风格对齐。
三、标准解答§
已知 $a=10\,\mathrm{mm}=0.01\,\mathrm{m}$、$b=6\,\mathrm{mm}=0.006\,\mathrm{m}$，空气
$$ f_\mathrm c=\frac{c}{2\pi}\sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2}. $$
- $\mathrm{TE}_{10}$（$m=1,n=0$）：$k_\mathrm c=\pi/a$，$\displaystyle f_\mathrm c=\frac{c}{2a}$
$$ f_{\mathrm c,10}=\frac{2.99792458\times 10^8}{2\times 0.01}\ \mathrm{Hz}\approx \boxed{14.99\,\mathrm{GHz}}. $$
- $\mathrm{TE}_{20}$（$m=2,n=0$）：$k_\mathrm c=2\pi/a=2k_{\mathrm c,10}$，故
$$ f_{\mathrm c,20}\approx 2f_{\mathrm c,10}\approx \boxed{29.98\,\mathrm{GHz}}. $$
- $\mathrm{TE}_{21}$（$m=2,n=1$）：代一般式，
$$ f_{\mathrm c,21}\approx\boxed{39.02\,\mathrm{GHz}}. $$
汇总：
| 模 | $f_\mathrm c$（数值） |
|---|---|
| $\mathrm{TE}_{10}$ | $\approx 14.99\,\mathrm{GHz}$ |
| $\mathrm{TE}_{20}$ | $\approx 29.98\,\mathrm{GHz}$ |
| $\mathrm{TE}_{21}$ | $\approx 39.02\,\mathrm{GHz}$ |
图示§
图：先由 $a,b,m,n$ 求 $k_\mathrm c$，再换成 $f_\mathrm c$。图只强调三者的相对顺序；精确数值以上表为准。