第三次作业（Lec13–Lec16）第 2 题：$f=10\,\mathrm{GHz}$ 只传 $\mathrm{TE}_{10}$ 的尺寸与 $\lambda_{\mathrm g},v_{\mathrm p},v_{\mathrm g}$§

对应知识点：03-导波波长相速群速算例

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矩形波导 $k_{\mathrm c}$、$\lambda_{\mathrm c}$ 与主册总述见 Lec13–Lec16 主册文首；单模判据的完整合并不等式见第1题分题。

一、前置知识§

1. 专有名词§

BJ-100 / WR-90：国内/国外命名的同一标准矩形波导规格，常用于 X 波段。题中取 $a=22.86\,\mathrm{mm}$、$b=10.16\,\mathrm{mm}$（内尺寸）。
$\lambda_0$：无限均匀介质中该频率的工作波长；空气时 $\lambda_0=c/f$。
$\beta$：沿 $z$ 的相位常数；导行时 $\beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2}$（实数）。
$\lambda_\mathrm{g}$（波导波长） ：导行时 $\lambda_\mathrm{g}=2\pi/\beta$。对空气 $\mathrm{TE}_{10}$ 常写为 $\lambda_\mathrm{g}=\lambda_0\big/\sqrt{1-(\lambda_0/(2a))^2}$ 或等价的 $(f/f_{\mathrm c,10})$ 形式。
$v_\mathrm p$（相速）、$v_\mathrm{g}$（群速） ：$v_\mathrm p=\omega/\beta$，$v_\mathrm{g}=\mathrm d\omega/\mathrm d\beta$。均匀、无耗、空气填充矩形波导中常用 $v_\mathrm p v_\mathrm{g}=c^2$ 验算。
$\lambda_{\mathrm c}$ / 单模 ：可导行当 $\lambda_0 < \lambda_{\mathrm c,mn}$ ；在若干竞争模都不导行、仅 $\mathrm{TE}_{10}$ 导行时，称该频率下在题设尺寸上为 $\mathrm{TE}_{10}$ 单模。

2. 核心公式（含义）§

$\lambda_0=c/f$：由 $f$ 得自由空间工作波长。
$\beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c,10}^2}$、$\lambda_\mathrm{g}=2\pi/\beta$：$k=2\pi/\lambda_0$（空气）。若已确认仅 $\mathrm{TE}_{10}$ 可传，则只取 $k_{\mathrm c,10}=\pi/a$。
$\lambda_\mathrm{g}$ 显式（$\mathrm{TE}_{10}$）：$\lambda_\mathrm{g}=\lambda_0\big/\sqrt{1-(\lambda_0/(2a))^2}$ — 角色：由 $\lambda_0$、$a$ 直算波导波长。
$\ v_\mathrm p=c\big/\sqrt{1-(f_{\mathrm c,10}/f)^2}$，$v_\mathrm{g}=c\sqrt{1-(f_{\mathrm c,10}/f)^2}$（$\mathrm{TE}_{10}$ 空气段常用形式）— 角色：由 $f$ 与主模 $f_{\mathrm c,10}=c/(2a)$ 求相/群速；验算 $v_\mathrm p v_\mathrm{g}\approx c^2$。

二、分析思路§

按课程常用例题取 BJ-100（WR-90） 的 $a,b$。
由 $f$ 算 $\lambda_0=c/f$。
用 $\lambda_0 < \lambda_{\mathrm c,mn}$ 对主模与 $\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}$ 等逐模核对，确认在 10 GHz 上仅 $\mathrm{TE}_{10}$ 能导行。
在单模成立前提下，用 $\mathrm{TE}_{10}$ 的色散式求 $\lambda_\mathrm{g}$。
用 $f_{\mathrm c,10}$ 与 $f$ 写出 $v_\mathrm p$、$v_\mathrm{g}$，并验 $v_\mathrm p v_\mathrm{g}$。

三、标准解答§

取工程上常用的标准矩形波导 BJ-100（WR-90）：

$$ a=22.86\,\mathrm{mm},\qquad b=10.16\,\mathrm{mm}. $$

工作波长（取 $c\approx 2.998\times 10^8\,\mathrm{m/s}$）：

$$ \lambda_0=\frac{c}{f}\approx 2.998\times 10^{-2}\,\mathrm{m}\approx 29.98\,\mathrm{mm}. $$

单模核对（$\lambda_{\mathrm c,10}=2a=45.72\,\mathrm{mm}$）：

模	$\lambda_\mathrm c$	与 $\lambda_0$ 比
$\mathrm{TE}_{10}$	45.72 mm	$>\lambda_0$：可导行
$\mathrm{TE}_{20}$	$a=22.86\,\mathrm{mm}$	$<\lambda_0$，不导行
$\mathrm{TE}_{01}$	$2b=20.32\,\mathrm{mm}$	不导行
$\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}$	$\approx 18.57\,\mathrm{mm}$	不导行

故在 10 GHz 上仅 $\mathrm{TE}_{10}$ 单模工作（与教材常用 WR-90 例题一致），以下按 $\mathrm{TE}_{10}$ 取 $\beta$。

$$ \boxed{\lambda_{\mathrm g}=\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(\lambda_0/(2a))^2}}\approx 3.97\times 10^{-2}\,\mathrm{m}\approx 39.7\,\mathrm{mm}} $$

$$ \boxed{v_{\mathrm p}=\frac{c}{\sqrt{1-(f_{\mathrm c,10}/f)^2}}\approx 3.97\times 10^8\,\mathrm{m/s}},\qquad \boxed{v_{\mathrm g}=c\sqrt{1-(f_{\mathrm c,10}/f)^2}\approx 2.26\times 10^8\,\mathrm{m/s}}. $$

验算：$v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}\approx c^2$。

图示§

$BJ-100 上 TE$_{10}$ 色散与 10\,GHz 工作点 $f/f_{\mathrm c,10}$ 示意$

图：$f$ 相对主模截止 $f_{\mathrm c,10}$ 的比 $r$ 上：$\lambda_\mathrm{g}/\lambda_0$ 与 $v_\mathrm p/c,\,v_\mathrm g/c$；竖线处为本题 10\,GHz 工作点。由图可见导行时 $\lambda_\mathrm{g}>\lambda_0$、$v_\mathrm p>c$ 而 $v_\mathrm g<c$ 等定性关系。详细公式见第三节。

四、与主册/他题衔接§

单模判据与 $\max\{a,2b,\lambda_{\mathrm c,11}\}$ 的合并不等式，见第1题 第三节；本题因给定 标准尺寸 与 10 GHz，直接逐模数值比较即够。