04 · 谐振腔与网络 · 公式记忆§
导航： 总览 · 01 传输线与匹配 · 02 波导与色散 · 03 圆同轴微带 · 04 谐振腔与网络 · 05 实验测量与 VNA
对应 Lec22–28 及实验 S 参数。
1. 本节先抓住一句话§
谐振腔在波导横向门槛 $k_c$ 上再加轴向驻波 $k_z=p\pi/l$；多端口元件用 $S$ 矩阵描述入射/反射波；VNA 读 $S_{ij}$，波幅 dB 用 20log。
2. 本节符号总表§
| 符号 | 含义 | 单位 / 备注 |
|---|---|---|
| $l$ | 谐振腔轴向长度 | m |
| $p$ | 轴向半波数（整数） | 无量纲 |
| $k$、$k_c$、$k_z$ | 总波数、横向截止波数、轴向波数 | rad/m |
| $f$、$f_r$ | 谐振频率 | Hz |
| $Q$、$Q_0$、$Q_L$ | 品质因数；无载 / 有载 | 无量纲 |
| $W$ | 腔内平均储能 | J |
| $P_{\mathrm{loss}}$ | 损耗功率 | W |
| $a_i$、$b_i$ | 端口 $i$ 入射波、反射波振幅 | 无量纲（归一化） |
| $S_{ij}$ | 端口 $j$ 入射、端口 $i$ 出射的传输系数 | 无量纲 |
| $\Gamma_1$、$\Gamma_2$ | 端口 1、2 接负载的反射系数 | 无量纲 |
| $C$、$I$、$D$ | 耦合度、隔离度、方向性 | dB |
| $Z_0$ | 系统参考阻抗（常 $50\,\Omega$） | $\Omega$ |
3. 必背公式卡（含参量）§
3.1 谐振合成式§
$$ k^2=k_c^2+k_z^2, \qquad k_z=\frac{p\pi}{l}. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $k_c$ | 与波导相同，由横截面与 $(m,n)$ 或 $\chi$ 决定 |
| $p\pi/l$ | 腔体比波导多写的轴向驻波条件 |
| $p=0$ | 仅部分 TM 模（如 $\mathrm{TM}_{010}$） |
3.2 谐振频率§
矩形腔：
$$ f=\frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2+\left(\frac{p}{l}\right)^2}. $$
$\mathrm{TE}_{101}$（$m=1,n=0,p=1$）：$f=\dfrac{c}{2}\sqrt{1/a^2+1/l^2}$，不显含 $b$（$n=0$ 无 $(n/b)^2$ 项）。
圆柱腔 TE：
$$ f=\frac{c}{2\pi}\sqrt{\left(\frac{\chi'_{mn}}{R}\right)^2+\left(\frac{p\pi}{l}\right)^2}. $$
圆柱腔 TM：
$$ f=\frac{c}{2\pi}\sqrt{\left(\frac{\chi_{mn}}{R}\right)^2+\left(\frac{p\pi}{l}\right)^2}. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $m,n,p$ | 矩形腔三方向半波指标 |
| $\chi$ vs $\chi'$ | TE 谐振用 $\chi'$；TM 用 $\chi$ |
| $b$ 在 $\mathrm{TE}_{101}$ | 影响 $Q$、损耗，不进入 $f$ 公式 |
同轴腔 TEM：
| 型式 | 条件 |
|---|---|
| $\lambda/2$（两端短路） | $l=p\lambda_g/2$ |
| $\lambda/4$（短+开） | $l=(2p-1)\lambda_g/4$ |
| 电容加载 | $2\pi f_r C-(1/Z_c)\cot(2\pi f_r l/v)=0$ |
3.3 品质因数§
$$ Q=\frac{\omega W}{P_{\mathrm{loss}}}. $$
3 dB 带宽法（实验/VNA）：
$$ Q_L=\frac{f_0}{\Delta f_{3\mathrm{dB}}}. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $Q_0$ | 无载（腔体自身） |
| $Q_L$ | 有载（含耦合）；扫频直接读到的是 $Q_L$ |
| $W$ | 时间平均储能 |
3.4 $S$ 参数基础§
$Z$ 矩阵（低频/理论开路条件，与 $S$ 对照）：
$$ V_i=\sum_j Z_{ij}I_j. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $Z_{ij}$ | 端口 $j$ 加单位电流、其余开路时端口 $i$ 电压 |
| 互易 | $Z_{12}=Z_{21}$；与 $S_{12}=S_{21}$ 对应不同测量条件 |
| VNA | 直接测 $S$，不是 $Z$ |
$$ \mathbf b=S\mathbf a, \qquad \begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}. $$
接负载（端口 2 接 $\Gamma_2$，看端口 1）：
$$ \Gamma_1=S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_2}{1-S_{22}\Gamma_2}. $$
理想无耗匹配传输线（长 $l$）：
$$ S_{11}=S_{22}=0, \qquad S_{21}=S_{12}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta l}. $$
dB：
$$ S_{ij}[\mathrm{dB}]=20\log|S_{ij}|. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $S_{11},S_{22}$ | 反射系数（匹配负载定义下） |
| $S_{21},S_{12}$ | 传输系数；$\arg S_{21}$ 为插入相移 |
| 无耗 | $S^\dagger S=I$ |
| 互易 | $S_{12}=S_{21}$ |
| 对称二端口 | $S_{11}=S_{22}$ |
3.5 工作特性参量（输出口匹配，即 $\Gamma_2=0$）§
| 名称 | 公式 | 含义 |
|---|---|---|
| 插入反射系数 | $\Gamma_i=S_{11}$ | 输入端反射 |
| 插入驻波比 | $\rho=(1+|S_{11}|)/(1-|S_{11}|)$ | 由 $|S_{11}|$ 换算 |
| 电压传输系数 | $T=S_{21}$ | 透射复振幅比 |
| 插入相移 | $\theta=\arg S_{21}$ | rad 或 ° |
| 插入衰减 | $A=1/|S_{21}|^2$ | 功率比 |
3.6 定向耦合器与功分器§
（端口编号须与题意/教材一致。）
$$ C=-20\log|S_{21}|, \qquad I=-20\log|S_{41}|, \qquad D=I-C. $$
Wilkinson 等分：
$$ Z_{\mathrm{branch}}=\sqrt{2}\,Z_0, \qquad R=2Z_0. $$
理想每路 $-3\,\mathrm{dB}$ = 理论分功率，附加损耗需另扣。
3.7 波导与谐振腔公式结构速查§
| 结构 | 主模 | 关键式 |
|---|---|---|
| 矩形波导 | $\mathrm{TE}_{10}$ | $\lambda_c=2/\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2}$ |
| 圆波导 TE | $\mathrm{TE}_{11}$ | $\lambda_c=2\pi R/\chi'_{mn}$ |
| 矩形谐振腔 | $\mathrm{TE}_{101}$ | $f=\dfrac{c}{2}\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2+(p/l)^2}$ |
| 圆柱腔 TE/TM | — | 见 3.2 节 |
完整表：06-考前 · 99-公式。
4. 记忆钩子§
Lec22–28 链§
谐振腔(k²=kc²+(pπ/l)²) → S参数 → 元件C/I/D → VNA(20log)
圆柱腔模式图四类干扰§
一般 / 自 / 交叉 / 简并 — 读图后仍须用谐振公式验算频率。
LC vs 微波谐振器§
LC：$L,C,R$；微波：$f_r,Q_0,G_0$；高频 Q 更高、多模。
5. 例题怎样用这些公式§
例 1 · 矩形腔 $\mathrm{TE}_{101}$ 长度（Lec22–23 第 2 题）§
题意：BJ-100 矩形腔，求 $\mathrm{TE}_{101}$ 谐振频率或调谐活塞位置。
公式链：
- $f=\dfrac{c}{2}\sqrt{1/a^2+1/l^2}$（$n=0$ 无 $b$）。
- 短路活塞改变有效 $l$ 调谐 $f$。
→ 第 2 题
例 2 · 圆柱腔谐振波长（Lec22–23 第 3 题）§
题意：求 $\mathrm{TE}_{011}$、$\mathrm{TM}_{010}$ 等 $\lambda_r$ 或 $f$。
公式链：
- TE 用 $\chi'_{mn}$，TM 用 $\chi_{mn}$ 代入圆柱腔公式。
- $\mathrm{TM}_{010}$ 常 $p=0$。
→ 第 3 题
例 3 · 圆柱腔模式图（考前第 1 题）§
题意：读模式图，判断干扰类型。
公式链：
- 识别四类干扰名称。
- 关键点频率用 3.2 节公式验算，不能只读图不计算。
→ 考前第 01 题
例 4 · 理想传输线 $S$ 矩阵（Lec24 第 3 题）§
题意：长 $l$ 无耗线，求 $S$ 或 $l=\lambda/3$ 特例。
公式链：
- $S_{11}=S_{22}=0$，$S_{21}=e^{-j\beta l}$。
- $\beta l=2\pi/3$ 代入得相位。
→ 第 3 题
例 5 · 无耗/互易/对称（Lec24 第 2 题）§
公式链：
- 无耗 → $S^\dagger S=I$；互易 → $S_{12}=S_{21}$；对称 → $S_{11}=S_{22}$。
- 三者独立，不能互相代替。
→ 第 2 题
例 6 · 定向耦合器 $C,I,D$（Lec25–26）§
公式链：
- 先统一端口定义。
- $C=-20\log|S_{\mathrm{coupling}}|$ 等；$D=I-C$。
例 7 · 魔 T / 混合器 $S$ 矩阵（考前第 2–3 题）§
公式链：
- 标清哪端口 $a_i\ne0$。
- $\mathbf b=S\mathbf a$ 逐元素算输出。
例 8 · VNA 读 $S_{11}$、Q 值（实验 / Lec27–28）§
公式链：
- $S_{ij}[\mathrm{dB}]=20\log|S_{ij}|$；不用 $10\log$。
- 谐振曲线：$Q_L=f_0/\Delta f_{3\mathrm{dB}}$。
- 未测端口接 $50\,\Omega$ 匹配负载。
6. 易混对照§
| 易混 | 区分 |
|---|---|
| 波导 $k_c$ vs 腔 $k$ | 腔加 $p\pi/l$ |
| $\chi$ vs $\chi'$ | TE vs TM |
| $Q_L$ vs $Q_0$ | 实验 → $Q_L$ |
| $10\log$ vs $20\log$ | $S$ 参数 → 20log |
| $-3\,\mathrm{dB}$ 功分 | 理论分功率，非损耗 |
| 无耗/互易/对称 | 三个独立条件 |
7. 闭卷默写清单§
- [ ] $k^2=k_c^2+(p\pi/l)^2$ 及矩形/圆柱 $f$ 公式。
- [ ] $\mathrm{TE}_{101}$ 为何不显含 $b$。
- [ ] $Q=\omega W/P_{\mathrm{loss}}$ 与 $Q_L=f_0/\Delta f_{3\mathrm{dB}}$。
- [ ] $\mathbf b=S\mathbf a$、接负载 $\Gamma_1$、理想线 $S$ 矩阵。
- [ ] 无耗/互易/对称条件；$S_{ij}[\mathrm{dB}]=20\log|S_{ij}|$。
- [ ] $C,I,D$ 与 Wilkinson $-3\,\mathrm{dB}$ 含义。
- [ ] 模式图四类干扰；VNA 未测端口要匹配。
8. 深度链接§
| 类型 | 入口 |
|---|---|
| 知识点 | 08 谐振器/网络 |
| 公式卡 | 05 · 99-公式 |
| 作业 | Lec22–28 |