03 · 圆同轴微带 · 公式记忆§
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对应 Lec17–20。
1. 本节先抓住一句话§
圆波导用贝塞尔根定截止；同轴双导体传 TEM 无截止；微带是 准 TEM，用 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 把部分介质「等效」进传播常数。
2. 本节符号总表§
| 符号 | 含义 | 单位 / 备注 |
|---|---|---|
| $R$ | 圆波导内半径 | m |
| $\chi_{mn}$ | $J_m(\chi)=0$ 的根（TM 截止） | 无量纲 |
| $\chi'_{mn}$ | $J'_m(\chi')=0$ 的根（TE 截止） | 无量纲 |
| $a$、$b$ | 同轴线内导体半径、外导体内半径（$b>a$） | m |
| $W$、$h$ | 微带线线宽、介质厚度 | m |
| $\varepsilon_r$ | 基底相对介电常数 | 无量纲 |
| $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ | 微带等效介电常数 | $1<\varepsilon_{\mathrm{eff}}<\varepsilon_r$ |
| $q$ | 填充因子 | 无量纲 |
| $k$、$k_c$ | 工作波数、截止波数 | rad/m |
| $kR$ | 圆波导模枚举用无量纲量 $2\pi R/\lambda_0$ | 无量纲 |
| $Z_c$ | 同轴或微带特性阻抗 | $\Omega$ |
3. 必背公式卡（含参量）§
3.1 圆波导§
$$ k_c=\frac{\chi'_{mn}}{R}\ \text{（TE）}, \qquad k_c=\frac{\chi_{mn}}{R}\ \text{（TM）}. $$
$$ f_c=\frac{c\,k_c}{2\pi}, \qquad \lambda_c=\frac{2\pi R}{\chi}\ \text{或}\ \frac{2\pi R}{\chi'}. $$
单模窗口（TE 主模 $\mathrm{TE}_{11}$）：
$$ \frac{\chi'_{11}}{R}<k<\frac{\chi_{01}}{R} \quad\Leftrightarrow\quad \chi'_{11}<kR<\chi_{01}. $$
低阶根速查：
χ'_11 = 1.841 (TE11, 主模)
χ_01 = 2.405 (TM01, 第二模)
χ'_21 = 3.054 (TE21)
χ'_01 = 3.832 (TE01)
χ_11 = 3.832 (TM11, 与 TE01 简并)
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $\chi$ vs $\chi'$ | TM 用 Bessel 函数根；TE 用导数根 |
| $kR$ | 枚举时算 $2\pi R/\lambda_0$，与各根比较 |
| 简并 | $\mathrm{TE}_{01}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 同 $\chi=3.832$ |
介质填充：$f_{c,\varepsilon}=f_{c,\mathrm{air}}/\sqrt{\varepsilon_r}$；保 $f_c$ 变半径 $R'=R/\sqrt{\varepsilon_r}$。
3.2 同轴线§
$$ Z_c=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac{b}{a}\ \Omega, \qquad v_p=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}. $$
高阶模（常用 $\mathrm{TE}_{11}$ 近似）：
$$ \lambda_c\approx\pi(a+b), \qquad f_{\max}=\frac{c}{\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}}. $$
单模 TEM：$\lambda_0>\pi(a+b)$（介质中波长）；或 $f<f_{\max}$。
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $a,b$ | 内外导体半径比 $b/a$ 决定 $Z_c$ |
| TEM | 无截止；主模始终为 TEM |
| $\lambda_{\min}$ | 最短可传 TEM 波长 $\approx\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}$ |
3.3 微带线（准 TEM）§
$$ \varepsilon_{\mathrm{eff}}=1+q(\varepsilon_r-1), \qquad q=\frac{\varepsilon_{\mathrm{eff}}-1}{\varepsilon_r-1}. $$
$$ \beta=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}, \qquad v_p=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}, \qquad \lambda_g=\frac{\lambda_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}. $$
Hammerstad 近似（工程估算 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$）：
$$ \varepsilon_{\mathrm{eff}}\approx\frac{\varepsilon_r+1}{2}+\frac{\varepsilon_r-1}{2\sqrt{1+12h/W}}. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ | 等效均匀填充介质的 $\varepsilon_r$；不能直接用材料 $\varepsilon_r$ |
| 准 TEM | 场有纵向分量；高频趋近 TM$_0$ 表面波 |
| $q$ | 场进入介质的「填充程度」 |
3.4 跨结构对照§
| 维度 | 矩形 | 圆 | 同轴 | 微带 |
|---|---|---|---|---|
| 主模 | $\mathrm{TE}_{10}$ | $\mathrm{TE}_{11}$ | TEM | 准 TEM |
| 主模截止 | 有 | 有 | 无 | 无（理想） |
| 截止公式 | $k_c=\sqrt{(m\pi/a)^2+(n\pi/b)^2}$ | $k_c=\chi/R$ | TEM 无 $k_c$ | 用 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ |
| 色散 | 结构色散 | 结构色散 | TEM 无色散 | 弱色散 |
4. 记忆钩子§
- 圆波导枚举：算 $kR$，比根。
- 同轴：双导体 → 真 TEM；$\ln(b/a)$ 定 $Z_c$。
- 微带：准 TEM 四个字必写；$\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ 在 1 与 $\varepsilon_r$ 之间。
5. 例题怎样用这些公式§
例 1 · 圆波导模指数 / 单模（Lec17 第 1–4 题）§
题意：给定 $R,\lambda_0$，判断传哪些模或是否单模。
公式链：
- $kR=2\pi R/\lambda_0$。
- TE：与 $\chi'_{mn}$ 比；TM：与 $\chi_{mn}$ 比；$kR>\chi$ 则该模可导行。
- 单模：$\chi'_{11}<kR<\chi_{01}$。
例 2 · 圆波导简并（Lec17 第 2 题）§
题意：说明 $\mathrm{TE}_{01}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 简并。
公式链：
- 两者 $k_c=\chi/R$，$\chi=\chi'_{01}=\chi_{11}=3.832$。
- 截止相同，场分布不同；还有极化简并。
→ 第 2 题
例 3 · 同轴 TEM 单模窗口（Lec19 第 7 题）§
题意：给定 $a,b,\varepsilon_r$，求 TEM 最高工作频率或 $\lambda_{\min}$。
公式链：
- $\lambda_0>\pi(a+b)$（介质内）或 $f<f_{\max}=c/[\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}]$。
- $Z_c=(60/\sqrt{\varepsilon_r})\ln(b/a)$ 验算特性阻抗。
→ 第 7 题
例 4 · 微带 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$（Lec19 第 8–9 题）§
题意：求微带相速、$\lambda_g$ 或 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$。
公式链：
- 由 $W,h,\varepsilon_r$ 算 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$（公式或 Hammerstad）。
- $v_p=c/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}$，$\lambda_g=\lambda_0/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}$。
- 简答写 准 TEM，不写严格 TEM。
例 5 · 介质填充圆波导半径缩放（Lec17 第 5 题）§
公式链：$f'_{c}=f_c/\sqrt{\varepsilon_r}$；保 $f_c$ 则 $R'=R/\sqrt{\varepsilon_r}$。
→ 第 5 题
6. 易混对照§
| 易混 | 区分 |
|---|---|
| $\chi$ vs $\chi'$ | TM vs TE |
| 圆 vs 矩形 | 不能互套 $a,b$ 与 $R,\chi$ |
| 同轴 vs 微带 TEM | 真 TEM vs 准 TEM |
| $\varepsilon_r$ vs $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ | 微带传播用后者 |
7. 闭卷默写清单§
- [ ] 圆波导 TE/TM 的 $k_c$ 公式及 $\chi'_{11}$、$\chi_{01}$、$3.832$。
- [ ] 单模窗口 $\chi'_{11}<kR<\chi_{01}$。
- [ ] 同轴 $Z_c$、$v_p$、$\lambda_c\approx\pi(a+b)$。
- [ ] 微带 $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$、$v_p$、$\lambda_g$ 及准 TEM 一句。
- [ ] 跨结构主模对照表。
8. 深度链接§
| 类型 | 入口 |
|---|---|
| 知识点 | 06 圆/同轴/微带 |
| 公式卡 | 04 作业 · 99-公式 |
| 作业 | Lec17–20 |