02 · 波导与色散 · 公式记忆§
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对应 Lec10–16 及 knowledge 03–05 阶段。
1. 本节先抓住一句话§
金属边界筛出 TE/TM 模；每个模有固定截止门槛 $k_c$；工作频率超过门槛后才能导行，导行后 $\lambda_g$、$v_p$、$v_g$ 由 $\beta$ 决定；单导体空心管不能传 TEM。
2. 本节符号总表§
| 符号 | 含义 | 单位 / 备注 |
|---|---|---|
| $a$、$b$ | 矩形波导宽边、窄边（常 $a>b$） | m |
| $m,n$ | 横截面场半波数；TE 可有一下标为 0；TM 需 $m,n\ge1$ | 整数 |
| $k$ | 工作波数，$k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=2\pi/\lambda$（介质中） | rad/m |
| $k_0$ | 自由空间波数，$k_0=2\pi/\lambda_0$ | rad/m |
| $k_c$ | 截止波数，只由截面与 $(m,n)$ 决定 | rad/m |
| $\lambda_c$、$f_c$ | 截止波长、截止频率，$f_c=c k_c/(2\pi)$（空气） | m、Hz |
| $\beta$ | 轴向相位常数（导行时为实数） | rad/m |
| $\lambda_g$ | 导波波长（沿 $z$ 轴向相位周期） | m |
| $\lambda_0$ | 自由空间波长（空气填充时常用） | m |
| $v_p$、$v_g$ | 相速、群速 | m/s |
| $\eta$、$\eta_0$ | 波导内本征阻抗、自由空间 $377\,\Omega$ | $\Omega$ |
| $Z_{\mathrm{TE}}$、$Z_{\mathrm{TM}}$ | TE/TM 模波阻抗 | $\Omega$ |
| $\varepsilon_r$ | 相对介电常数；填充时 $k=k_0\sqrt{\varepsilon_r}$ | 无量纲 |
| $\gamma$ | 传播常数，$\gamma=\alpha+j\beta$（有耗时 $\alpha\ne0$） | rad/m |
3. 必背公式卡（含参量）§
3.0 波型与边界（knowledge 03 · Lec10–11）§
波型定义：
| 波型 | 纵向分量 | 空心单导体 |
|---|---|---|
| TEM | $E_z=H_z=0$ | 无（要双导体） |
| TE | $E_z=0,\ H_z\neq0$ | 有 |
| TM | $H_z=0,\ E_z\neq0$ | 有 |
色散关系（全课通用）：
$$ k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac{2\pi}{\lambda}, \qquad k^2=k_c^2+\beta^2. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $k$ | 由工作频率与填充介质决定 |
| $k_c$ | 由横截面几何与 $(m,n)$ 决定，与 $f$ 无关 |
| $\beta$ | 轴向相位常数；截止时 $\beta=0$ |
矩形 TM$_{mn}$ 本征值（四壁 $E_z=0$）：
$$ k_x=\frac{m\pi}{a},\quad k_y=\frac{n\pi}{b},\quad m,n\ge1. $$
$\mathrm{TM}_{11}$ 纵向电场种子：
$$ E_z=E_0\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{\pi y}{b}\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\beta z}. $$
横向场由 $\partial E_z/\partial x,\ \partial E_z/\partial y$ 经 Maxwell 方程推出（符号以教材为准）。
→ 例题：Lec10–11 作业
3.1 矩形波导截止§
$$ k_c=\sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2}, \qquad \lambda_c=\frac{2\pi}{k_c}, \qquad f_c=\frac{c\,k_c}{2\pi}=\frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2}. $$
主模 $\mathrm{TE}_{10}$（$a>b$）：$\lambda_{c,10}=2a$，$f_{c,10}=c/(2a)$。
典型竞争模（$a>b$）：
| 模 | $\lambda_c$ |
|---|---|
| $\mathrm{TE}_{20}$ | $a$ |
| $\mathrm{TE}_{01}$ | $2b$ |
| $\mathrm{TE}_{11}$、$\mathrm{TM}_{11}$ | $2/\sqrt{1/a^2+1/b^2}$（简并） |
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $k_c$ | 对给定 $(m,n)$ 与几何固定，不随工作频率变 |
| 非法模 | $\mathrm{TM}_{10}$、$\mathrm{TE}_{00}$ 等不进入候选表 |
3.2 导行判据与色散关系§
导行（$\beta$ 实、能传能）：
$$ k>k_c \quad\Leftrightarrow\quad f>f_c \quad\Leftrightarrow\quad \lambda<\lambda_c $$
（空气填充写 $\lambda_0<\lambda_c$；介质中先用 $\lambda=\lambda_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ 或 $k=k_0\sqrt{\varepsilon_r}$。）
$$ k^2=k_c^2+\beta^2, \qquad \beta=\sqrt{k^2-k_c^2}. $$
$$ \lambda_g=\frac{2\pi}{\beta} =\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}} =\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(\lambda_0/\lambda_c)^2}}. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $\lambda_g$ | 沿 $z$ 方向等相位点间距；近截止 $\lambda_g\to\infty$ |
| 截止以下 | $\beta$ 虚，$\lambda_g$ 公式不适用 |
介质填充：$k_c$ 公式中 $a,b$ 不变；$f_{c,\varepsilon}=f_{c,\mathrm{air}}/\sqrt{\varepsilon_r}$，$\lambda_{c,\varepsilon}=\lambda_{c,\mathrm{air}}/\sqrt{\varepsilon_r}$。
3.3 相速、群速与色散§
$$ v_p=\frac{\omega}{\beta}, \qquad v_g=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm d\beta}. $$
无耗、均匀、材料无频散：
$$ v_p v_g=c^2 \quad\text{（介质中 } u^2=c^2/\varepsilon_r\text{）}. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $v_p$ | 等相位点速度；波导中可 $>c$ |
| $v_g$ | 窄带能量/包络速度；无耗空气波导 $v_g<c$ |
| 结构色散 | $\beta(\omega)$ 非线性，即使 $\varepsilon_r$ 常数仍存在 |
| 材料色散 | $\varepsilon(\omega)$ 随频率变；可与结构色散叠加 |
3.4 波阻抗（无耗）§
$$ Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\eta}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}, \qquad Z_{\mathrm{TM}}=\eta\sqrt{1-(f_c/f)^2}, \qquad \eta=\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}}. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $Z_{\mathrm{TE/TM}}$ | 该模的 $E/H$ 横向比值；用于等效传输线、匹配螺钉 |
| 匹配/螺钉 | 轴向电长度用 $\lambda_g$，不是 $\lambda_0$ |
3.5 空心波导无 TEM§
单导体空心金属管：Laplace 方程 + 单连通腔 + 壁等势 $\Rightarrow$ 无非平凡 TEM。
对比：同轴、双线等 双导体 可有 TEM。
4. 记忆钩子§
Lec11–12 草稿链§
模(m,n) → k_c → 工作 f/介质 → k
↓
k 与 k_c 比较（导行？）
↓ 是
β → λ_g → v_p, v_g
三个波长§
| 波长 | 谁决定 |
|---|---|
| $\lambda_0$ | $f$ 与介质 |
| $\lambda_c$ | 截面 + $(m,n)$ |
| $\lambda_g$ | $f$ 与几何耦合（经 $\beta$） |
5. 例题怎样用这些公式§
例 1 · 只传 $\mathrm{TE}_{10}$ 的尺寸条件（Lec13–16 第 1 题）§
题意：求 $\lambda_0$（或 $f$）与 $a,b$ 关系，使仅 $\mathrm{TE}_{10}$ 导行。
公式链：
- 主模导行：$\lambda_0<\lambda_{c,10}=2a$。
- 高次模不导行：$\lambda_0\ge\lambda_{c,mn}$ 对 $\mathrm{TE}_{20}$（$a$）、$\mathrm{TE}_{01}$（$2b$）、$\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}$ 等。
- 合并：$\max\{a,2b,2/\sqrt{1/a^2+1/b^2},\ldots\}<\lambda_0<2a$（具体开闭区间以教材为准）。
- 介质填充：各 $\lambda_c$ 同除以 $\sqrt{\varepsilon_r}$，或比较 $k$ 与 $k_c$。
→ 第 1 题
例 2 · $\lambda_g$、$v_p$、$v_g$ 计算（Lec13–16 第 3 题 / BJ-100）§
题意：已知 $a,b,f$，求 $\mathrm{TE}_{10}$ 的 $\lambda_g$ 与速度。
公式链：
- 确认单模：$f>f_{c,10}=c/(2a)$。
- $\lambda_g=\lambda_0/\sqrt{1-(f_{c,10}/f)^2}$ 或先 $\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}$。
- $v_p=\omega/\beta$；验算 $v_p v_g=c^2$。
例 3 · 可传输模枚举（Lec13–16 第 4–6 题）§
题意：给定 $\lambda_0$ 与 $a,b$，数能传几个模。
公式链：
- 列合法 TE/TM 候选 $(m,n)$。
- 算各 $k_c$ 或 $\lambda_c$。
- 导行条件 $\lambda_0<\lambda_c$；简并模分开计。
例 4 · 色散与脉冲展宽（Lec11–12）§
题意：解释波导色散、$v_g$ 与脉冲展宽。
公式链：
- $\beta(\omega)$ 非线性 → $v_g=\mathrm d\omega/\mathrm d\beta$ 随频率变。
- 区分结构色散（$k_c$ 固定）与 $\varepsilon(\omega)$ 色散。
例 5 · 波导段 + 支节匹配（Lec13–16 第 8 题）§
题意：矩形波导终端不匹配，用 $\mathrm{TE}_{10}$ 等效传输线 + 支节。
公式链：
- 用 $\lambda_g$（不是 $\lambda_0$）算螺钉/支节电长度。
- $Z_{\mathrm{TE}}$ 作等效特性阻抗（若题目给定）。
→ 第 8 题
例 6 · 空心波导无 TEM（简答题）§
公式链：单导体 + 等势壁 → 无 TEM；对比同轴双导体。
例 7 · 壁电流与开槽辐射（考点 #13）§
题意：波导开缝是否辐射？切壁电流还是切电力线？
公式链（概念，无单一公式）：
- 壁电流 $\mathbf J_s=\hat n\times\mathbf H$ 沿金属壁流动。
- 切断壁电流 → 电荷堆积 → 可辐射。
- 切断电力线（等势缝）→ 一般不辐射。
6. 易混对照§
| 易混 | 区分 |
|---|---|
| $\lambda_0$ vs $\lambda_g$ | 沿轴间距用 $\lambda_g$ |
| $\lambda_0<\lambda_c$ | 导行；写反则整题错 |
| $v_p>c$ | 相速可大于 $c$；$v_g<c$ |
| 介质填充 | 先换 $k$ 或 $\lambda$，不能只改 $\mathrm{TE}_{10}$ 的 $f_c$ |
| 简并 | 截止同 ≠ 场同；枚举分开 |
7. 闭卷默写清单§
- [ ] 写出 $k_c$、$\lambda_c$、$f_c$ 及 $\mathrm{TE}_{10}$ 的 $\lambda_c=2a$。
- [ ] 写出导行三种等价判据与 $k^2=k_c^2+\beta^2$。
- [ ] 写出 $\lambda_g$ 用 $\lambda_0,f_c,f$ 表示；近截止极限。
- [ ] 写出 $v_p$、$v_g$ 及 $v_p v_g=c^2$。
- [ ] 写出 $Z_{\mathrm{TE}}$、$Z_{\mathrm{TM}}$。
- [ ] 只传 $\mathrm{TE}_{10}$ 不等式组（含 $\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$）。
- [ ] 空心波导无 TEM 一句；结构/材料色散各一句。
8. 深度链接§
| 类型 | 入口 |
|---|---|
| 知识点 | 03–05 阶段 README |
| 公式卡 | 03 作业 · 99-公式 |
| 作业 | Lec10–16 |