05 · 实验测量与 VNA · 公式记忆§
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对应 knowledge 07 · 实验测量与微波元件 与 实验环节（Lec21 实验 + 实验一/二）。
1. 本节先抓住一句话§
VNA 测的是端口间归一化波幅比 $S_{ij}$；报告里要把 dB 读数换成 $|\Gamma|$、$\rho$、$Q_L$、耦合度等物理量，并写清误差来源。
2. 本节符号总表§
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $a_i$、$b_i$ | 端口 $i$ 入射波、出射波（归一化） |
| $S_{ij}$ | 端口 $j$ 入射、端口 $i$ 出射的散射系数 |
| $Z_0$ | 系统参考阻抗，常 $50\,\Omega$ |
| $Z_L$、$Z_{\mathrm{in}}$ | 负载、输入阻抗 |
| $\Gamma$ | 反射系数 |
| $\rho$ | 驻波比 VSWR |
| $f_0$、$f_1$、$f_2$ | 谐振峰频率、半功率点频率 |
| $Q_L$、$Q_0$、$Q_e$ | 有载 Q、无载 Q、外部耦合 Q |
| $C$、$I$、$D$ | 耦合度、隔离度、方向性（dB，习惯写正值） |
| $w$、$h$ | 微带线宽、介质厚度（实验微带测量） |
| $d$ | 传输线长度（开/短/匹配测量） |
3. 必背公式卡（含参量）§
3.1 S 参数与 dB（实验/VNA 口径）§
$$ S_{ij}=\frac{b_i}{a_j}\bigg|_{a_k=0,\,k\ne j}, \qquad S_{ij}[\mathrm{dB}]=20\log_{10}|S_{ij}|. $$
$$ |S_{ij}|^2=10^{S_{ij}[\mathrm{dB}]/10}. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $S_{11}$ | 端口 1 反射；与 $\Gamma_{\mathrm{in,1}}$ 等价（$a_2=0$） |
| $S_{21}$ | 端口 1→2 传输；滤波器/Q 值看 $|S_{21}|$ 峰 |
| dB 换算 | 场幅/电压比 → ÷20；功率比 → ÷10 |
| 未测端口 | 须接 $50\,\Omega$ 匹配负载，不能悬空 |
无损二端口：$|S_{11}|^2+|S_{21}|^2=1$（与 $S^\dagger S=I$ 一致）。
3.2 反射系数与驻波比（与传输线章一致）§
$$ \Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}, \qquad \rho=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}, \qquad |\Gamma|=\frac{\rho-1}{\rho+1}. $$
由 $S_{11}[\mathrm{dB}]$ 读数：$|\Gamma|=10^{S_{11}[\mathrm{dB}]/20}$。
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $S_{11}=-20\,\mathrm{dB}$ | $|\Gamma|=0.1$，反射功率 $\approx1\%$ |
| Smith 圆图 | 匹配≈圆心；开路≈右端；短路≈左端 |
3.3 微带线（实验一：开/短/匹配）§
等效介电常数（Hammerstad，与 Lec19 一致）：
$$ \varepsilon_{\mathrm{eff}}\approx\frac{\varepsilon_r+1}{2}+\frac{\varepsilon_r-1}{2\sqrt{1+12h/w}}. $$
特性阻抗：
$$ Z_c\approx\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}\ln\!\left(\frac{8h}{w}+\frac{w}{4h}\right)\quad(w/h\ll1), $$
$$ Z_c\approx\frac{120\pi}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}\big[w/h+1.393+0.667\ln(w/h+1.444)\big]}\quad(w/h\gg1). $$
输入阻抗与 $\lambda/4$：
$$ Z_{\mathrm{in}}(d)=Z_c\frac{Z_L+jZ_c\tan\beta d}{Z_c+jZ_L\tan\beta d}, \qquad Z_{\mathrm{in}}\big|_{d=\lambda/4}=\frac{Z_c^2}{Z_L}, \qquad Z_{\mathrm{in}}\big|_{d=\lambda/2}=Z_L. $$
开/短路：
$$ Z_{\mathrm{in}}^{\mathrm{short}}=jZ_c\tan\beta d, \qquad Z_{\mathrm{in}}^{\mathrm{open}}=-jZ_c\cot\beta d. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $d$ | 从负载向源量的线长 |
| 实验流程 | 开/短/匹配测 $S_{11}$ → 反推 $Z_c$、$\varepsilon_{\mathrm{eff}}$ |
3.4 Q 值（实验二 · 谐振器扫频）§
$$ Q_L=\frac{f_0}{f_2-f_1}=\frac{f_0}{\Delta f_{3\mathrm{dB}}}. $$
$$ \frac{1}{Q_L}=\frac{1}{Q_0}+\frac{1}{Q_e}. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $f_0$ | $|S_{21}|$ 峰值频率（不是最小） |
| $f_1,f_2$ | 相对峰值 降 3 dB 的两频点 |
| $Q_L$ | VNA 带宽法直接得到的是 有载 Q |
| 扫频范围 | 约 $5\sim10$ 倍 $\Delta f_{3\mathrm{dB}}$ |
3.5 定向耦合器（实验二）§
$$ C=-20\log_{10}|S_{21}|, \qquad D=-20\log_{10}\!\left(\frac{|S_{41}|}{|S_{21}|}\right), \qquad I=C+D=-20\log_{10}|S_{41}|. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| $C$ | 输入→耦合端；习惯写 正值 dB |
| $D$ | 方向性 = 耦合端 vs 隔离端差别 |
| $I$ | 隔离度；$I=C+D$ |
| 端口 | 下标须与实验板/题面一致 |
3.6 Wilkinson 功分器（实验二）§
$$ Z_{\mathrm{branch}}=\sqrt{2}\,Z_0\approx70.7\,\Omega, \qquad R=2Z_0=100\,\Omega. $$
| 量 | 说明 |
|---|---|
| 理论 $-3\,\mathrm{dB}$ | 分功率，不是损耗 |
| 附加插损 | 实测插损 $-$ 3 dB |
| 幅度偏差 | $\|S_{21}[\mathrm{dB}]\|-|S_{31}[\mathrm{dB}]|$ |
| 隔离度 | 端口 1 匹配，从端口 2 注入测端口 3 |
4. VNA 屏幕格式速记§
| 想看什么 | 选什么 |
|---|---|
| 反射大小 | $S_{11}$ 对数幅度 |
| 是否匹配 | Smith 圆图 |
| 谐振/带宽 | $|S_{21}|$ + 峰值搜索 |
| 滤波器平坦度 | 群延迟 |
| 失配程度 | 驻波比格式 |
5. 例题怎样用这些公式§
例 1 · 微带开/短/匹配（实验一 · Lec03 微带测量）§
公式链：测 $S_{11}$ 轨迹 → 开/短路 $Z_{\mathrm{in}}$ 式 → $Z_c=\sqrt{Z_{\mathrm{short}}Z_{\mathrm{open}}}$ → $\varepsilon_{\mathrm{eff}}$。
例 2 · 滤波器 $S_{21}$（实验一）§
公式链：$S_{21}[\mathrm{dB}]=20\log|S_{21}|$；带内插损、回波读 $S_{11}$。
例 3 · Q 值扫频（实验二）§
公式链：找 $|S_{21}|$ 峰 $f_0$ → △ 光标 -3 dB 得 $f_1,f_2$ → $Q_L=f_0/(f_2-f_1)$。
例 4 · 耦合器特性（实验二）§
公式链：测 $|S_{21}|$、$|S_{41}|$ → $C$、$I$、$D$；中心频率测四端口 $|S_{ii}|$。
例 5 · 功分器（实验二）§
公式链：两路 $|S_{21}|$、$|S_{31}|$ 是否各 $\approx-3\,\mathrm{dB}$；隔离度测量接法。
6. 易混对照§
| 易混 | 区分 |
|---|---|
| dB vs dBm | dB 是比值；dBm 参考 1 mW |
| $10\log$ vs $20\log$ | $S$ 参数 → 20log |
| $Q_L$ vs $Q_0$ | 实验 → $Q_L$ |
| 方向性 vs 隔离度 | $I=C+D$ |
| $S_{11}=0$ vs 工程匹配 | $<-10\,\mathrm{dB}$ 常已够用 |
7. 闭卷默写清单§
- [ ] $S_{ij}$ 定义及 $S_{ij}[\mathrm{dB}]=20\log|S_{ij}|$。
- [ ] $|\Gamma|$ 由 $S_{11}[\mathrm{dB}]$ 换算；$\rho$ 与 $|\Gamma|$ 关系。
- [ ] $Q_L=f_0/\Delta f_{3\mathrm{dB}}$；$f_0$ 是峰值频率。
- [ ] $C,I,D$ 三式及 $I=C+D$。
- [ ] Wilkinson $Z_{\mathrm{branch}}=\sqrt{2}Z_0$，$-3\,\mathrm{dB}$ 含义。
- [ ] 未测端口为何要接匹配负载。
8. 深度链接§
| 类型 | 入口 |
|---|---|
| 知识点 | 07 实验测量与元件 |
| 99 自检 | 07 · 99-自检 |
| 实验公式 | 实验 · 99-公式与图像 |
| 实验 | 实验一、实验二 |