01 · 传输线与匹配 · 公式记忆§

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对应 Lec01–09；符号与 符号导读 一致。

1. 本节先抓住一句话§

无耗均匀传输线上，负载在终端产生反射；沿线每走一段电长度，反射系数只转相位、输入阻抗周期性变化；匹配就是在合适参考面把反射消掉或把实部变到 $Z_c$。

2. 本节符号总表§

通用前提：无耗、均匀、单频正弦稳态；整题 $z$ 方向与 $\Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}$ 自洽。

3. 必背公式卡（含参量）§

3.0 长线与分布参数（Lec01）§

$$ \beta=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\omega}{v_p}. $$

长线判据：$l/\lambda$ 不可忽略，或 $\beta l$ 与 $2\pi$ 同量级 → 须用分布参数 $Z_c,\beta$。

3.1 行波通解与输入阻抗§

$$ U(z)=U_L\cos\beta z+\mathrm{j}I_L Z_c\sin\beta z, \qquad I(z)=I_L\cos\beta z+\mathrm{j}\frac{U_L}{Z_c}\sin\beta z. $$

$$ Z_{\mathrm{in}}(z)=\frac{U(z)}{I(z)} =Z_c\,\frac{Z_L+\mathrm{j}Z_c\tan\beta z}{Z_c+\mathrm{j}Z_L\tan\beta z}. $$

$\lambda/2$ 周期：$Z_{\mathrm{in}}(z+\lambda/2)=Z_{\mathrm{in}}(z)$，$\Gamma(z+\lambda/2)=\Gamma(z)$。

相速：$v_p=\omega/\beta$。

3.2 反射系数、驻波比、阻抗三角§

$$ \Gamma=\frac{Z-Z_c}{Z+Z_c}=\frac{\bar z-1}{\bar z+1}, \qquad \bar z=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}. $$

$$ Z_{\mathrm{in}}=Z_c\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}, \qquad \Gamma=\frac{Z_{\mathrm{in}}-Z_c}{Z_{\mathrm{in}}+Z_c}. $$

$$ \rho=\frac{|U|_{\max}}{|U|_{\min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}, \qquad |\Gamma|=\frac{\rho-1}{\rho+1}, \qquad K=\frac{1}{\rho}. $$

$$ \Gamma(z)=\Gamma_L\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\beta z}. $$

3.3 开 / 短路与测 $Z_c$§

一端接短路或开路、线长 $l$，在另一端测 $Z_{\mathrm{in}}$：

$$ Z_{\mathrm{in,short}}=\mathrm{j}Z_c\tan\beta l, \qquad Z_{\mathrm{in,open}}=-\mathrm{j}Z_c\cot\beta l. $$

$$ Z_{\mathrm{is}}Z_{\mathrm{io}}=Z_c^2, \qquad Z_c=\sqrt{Z_{\mathrm{is}}Z_{\mathrm{io}}}. $$

3.4 $\lambda/4$ 阻抗变换§

$$ Z_{\mathrm{in}}\left(\frac{\lambda}{4}\right)=\frac{Z_c^2}{Z_L}. $$

归一化：$\bar Z_A=\bar Y_B$（相隔 $\lambda/4$ 的两截面阻抗↔导纳互换）。

纯电阻匹配（接入点 $R$ 为纯阻）：

$$ Z_{c1}=\sqrt{Z_0 R}. $$

3.5 导纳与并联单支节§

$$ \bar y=\frac{Y}{Y_c}=\frac{1}{\bar z}, \qquad \bar y_{\mathrm{tot}}=\bar y_{\mathrm{line}}+\bar y_{\mathrm{stub}}. $$

负载 $\bar y_L=g_0+jb_0$，主线长 $d$，$t=\tan\beta d$：

$$ \bar y(d)=\frac{g_0+\mathrm{j}(b_0+t)}{(1-b_0 t)+\mathrm{j}g_0 t}. $$

匹配条件（主线、支节均为 $Z_c$，短路支节）：

1. $\mathrm{Re}\,\bar y(d)=1$（或 $\mathrm{Re}\,Y(d)=Y_c$）→ 定 $d$；
2. $\mathrm{Im}\,\bar y(d)+Y_{\mathrm{stub}}=0$ → 定支节长 $l$。

支节阻抗/导纳：

$$ Z_{\mathrm{stub,short}}=\mathrm{j}Z_c\tan\beta l, \qquad Y_{\mathrm{stub,short}}=-\mathrm{j}Y_c\cot\beta l. $$

$$ Z_{\mathrm{stub,open}}=-\mathrm{j}Z_c\cot\beta l, \qquad Y_{\mathrm{stub,open}}=\mathrm{j}Y_c\tan\beta l. $$

3.6 瞬时场（Lec05）§

$$ u(t)=\mathrm{Re}\big[\underline U\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\big]. $$

$$ u(z,t)=\mathrm{Re}\big[\underline U^+ \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-\beta z)}+\underline U^- \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\beta z)}\big]. $$

4. 记忆钩子§

（略述，详见下文例题。）

• 三种状态：$\Gamma=0$ 行波；$0<|\Gamma|<1$ 行驻波；$|\Gamma|=1$ 纯驻波（短/开路 $\Gamma_L=\mp1$）。
• Smith 圆图：向源 = 顺时针；并联用导纳。
• Lec08 三行：$g=1$ → 消 $b$ → $\bar y_{\mathrm{tot}}=1$；$\lambda/4$ 先纯阻再开方；双支节防盲区。

5. 例题怎样用这些公式§

每题只写「先套哪条式、代哪些量」；完整步骤见链中作业解答。

例 0 · 长/短线判断（Lec01）§

题意：给定 $l,f$，判断是否按长线处理。

公式链：$\lambda=c/f$（或介质中 $\lambda=\lambda_0/\sqrt{\varepsilon_r}$）→ 比较 $l/\lambda$ 或 $\beta l$。

→ Lec01 解答

例 1 · $\Gamma$–$\rho$–$Z_{\mathrm{in}}$ 三角（Lec03 第 1 题）§

题意：由 $U(z),I(z)$ 建立 $\Gamma$、$\rho$、$Z_{\mathrm{in}}$ 关系。

公式链：

1. $Z_{\mathrm{in}}(z)=U(z)/I(z)$ → 化为 $Z_c(Z_L+jZ_c\tan\beta z)/(Z_c+jZ_L\tan\beta z)$。
2. $\Gamma_L=(Z_L-Z_c)/(Z_L+Z_c)$；$\Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}$。
3. $\rho=(1+|\Gamma|)/(1-|\Gamma|)$；互化 $Z_{\mathrm{in}}=Z_c(1+\Gamma)/(1-\Gamma)$。

→ Lec03 第 1 题

例 2 · 三种工作状态（Lec04 第 1 题）§

题意：判断行波 / 行驻波 / 纯驻波，读 $\rho$ 与圆图位置。

公式链：

1. 先算 $\Gamma_L$ 或 $|\Gamma|$。
2. $|\Gamma|=0$ → 行波，$\rho=1$；$|\Gamma|=1$ → 纯驻波；中间 → 行驻波。
3. 短/开路：$Z_{\mathrm{in}}=jZ_c\tan\beta l$ 或 $-jZ_c\cot\beta l$ 验证 $|\Gamma|=1$。

→ Lec04 第 1 题

例 3 · 开短路测 $Z_c$（Lec05）§

题意：同一参考面分别测开路、短路输入阻抗求 $Z_c$。

公式链：

1. 确认两次测量同一段线、同一 $f$、同一参考面。
2. $Z_c=\sqrt{Z_{\mathrm{is}}Z_{\mathrm{io}}}$。

→ Lec05 解答

例 4 · $\lambda/4$ 变换（Lec06 第 4 题）§

题意：两截面隔 $\lambda/4$，已知一端阻抗求另一端。

公式链：

1. $Z_A=Z_c^2/Z_B$（$A$ 比 $B$ 更靠近源多 $\lambda/4$）。
2. 或归一化：$\bar Z_A=1/\bar Y_B$。

→ Lec06 第 4 题

例 5 · Smith 圆图读 $\bar Z$、$\Gamma$（Lec07）§

题意：给定 $\bar Z_L$ 或 $\rho$，求 $\Gamma$ 或沿线转 $l/\lambda$。

公式链：

1. $\Gamma=(\bar z-1)/(\bar z+1)$。
2. 向源转 $l$：$\Gamma(l)=\Gamma_L e^{-j2\beta l}$，圆图顺时针 $l/\lambda$。
3. 由 $\rho$ 反推 $|\Gamma|=(\rho-1)/(\rho+1)$。

→ Lec07 解答

例 6 · 并联单支节匹配（Lec08 第 1 题）§

题意：$Z_L$ 已知，求主线长 $d$ 与短路支节长 $l$ 使输入导纳为 $Y_c$。

公式链：

1. $\bar y_L=1/\bar z_L$。
2. 令 $\mathrm{Re}\,\bar y(d)=1$ 解 $d$（或用 $g=1$ 圆）。
3. 读 $\mathrm{Im}\,\bar y(d)=b$，令 $Y_{\mathrm{stub}}=-jb Y_c$，用 $Y_{\mathrm{stub}}=-jY_c\cot\beta l$ 解 $l$。

→ Lec08–09 第 1 题

例 7 · $\lambda/4$ 变换器 + 支节（Lec08 第 5–6 题）§

题意：复阻抗负载，先支节消虚部或先 $\lambda/4$ 变实部。

公式链：

• 方案 A：支节使 $\mathrm{Im}\,Y=0$ → $Z_{0T}=\sqrt{Z_c R}$ 的 $\lambda/4$ 段。
• 方案 B：先沿线找 $\mathrm{Im}\,Z(d)=0$ → $\lambda/4$ → 再支节。

→ Lec08 第 5 题、第 6 题 · 死区

6. 易混对照§

7. 闭卷默写清单§

• [ ] 写出 $U(z),I(z)$ 通解及 $Z_{\mathrm{in}}(z)$ 一般式。
• [ ] 写出 $\Gamma$、$\rho$、$Z_{\mathrm{in}}$ 三者互化式及 $\Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}$。
• [ ] 默写开/短路 $Z_{\mathrm{in}}$ 及 $Z_c=\sqrt{Z_{\mathrm{is}}Z_{\mathrm{io}}}$。
• [ ] 写出 $\lambda/4$ 变换及 $\bar y(d)$ 分式；说明 $g=1$ 匹配两步。
• [ ] 说出三种工作状态的 $\Gamma$ 与 $\rho$ 范围。
• [ ] 写出短路支节 $Y_{\mathrm{stub}}=-jY_c\cot\beta l$。
• [ ] 瞬时场：$u=\mathrm{Re}[\underline U e^{j\omega t}]$。

8. 深度链接§