第 4 题：可变衰减器（魔 T 结构）§

对应知识点：03 · 常用微波元件 · 魔 T
来源：电子板复习题 6-12（与三点测量法、加载 $\Gamma$ 公式联读）

题目：图示为一基于魔 T 的可变衰减器。端口 1 接信号源，端口 4 为输出端；端口 2、3 分别接可调终端，反射系数均为 $\Gamma$（两路对称）。当 $\Gamma=0$（匹配）时输出最大。求端口 1 与端口 4 之间传输系数与 $\Gamma$ 的关系，并说明幅度、相位如何随 $\Gamma$ 变化。

结构说明§

理想魔 T 矩阵（与第 2 题相同）：

$$ [S]=\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

端口 1：输入（$a_1\neq0$）。
端口 4：输出（关注 $b_4$）。
端口 2、3：接相同反射系数 $\Gamma$ 的终端，$a_2=\Gamma b_2$，$a_3=\Gamma b_3$。
端口 4 接匹配负载：$a_4=0$。

分析思路§

写四个散射方程。
代入端口 4 匹配（$a_4=0$）和端口 2、3 的对称负载（$a_2=\Gamma b_2$，$a_3=\Gamma b_3$）。
消元得 $b_4/a_1$，即端口 1→4 的传输系数 $S_{41}^{\mathrm{(load)}}$（加载后的有效传输）。

标准解答§

由散射方程：

$$ b_1=S_{12}a_2+S_{13}a_3=\frac{a_2+a_3}{\sqrt2}, $$

$$ b_2=\frac{a_1}{\sqrt2}+\frac{a_3}{\sqrt2}, $$

$$ b_3=\frac{a_1}{\sqrt2}-\frac{a_2}{\sqrt2}, $$

$$ b_4=\frac{-a_2+a_3}{\sqrt2}. $$

负载条件 $a_2=\Gamma b_2$，$a_3=\Gamma b_3$，$a_4=0$。

由 $b_2$、$b_3$ 两式相加减，并利用对称性（$a_2=a_3$ 在结构对称、$\Gamma$ 相同时成立），可得：

$$ a_2=a_3=\frac{\Gamma}{\sqrt2}\,a_1. $$

代入 $b_4$ 式：

$$ b_4=\frac{-a_2+a_3}{\sqrt2}=0 \quad\text{（当严格对称时）}. $$

上式说明：完全对称且仅接相同 $\Gamma$ 时，理想魔 T 端口 4 可能不传输。实际可变衰减器在端口 2、3 接衰减支节 + 可调短路/匹配，两路 $\Gamma$ 对称变化，能量从 E 臂（端口 1）经 H 臂分支在 2、3 反射叠加后从端口 4 取出。

更通用的加载分析（端口 1 入、端口 4 出、2/3 接 $\Gamma$）按网络联立，匹配时（$\Gamma=0$）：

$$ \left.\frac{b_4}{a_1}\right|_{\Gamma=0}=S_{41}=0. $$

考试口径应写清：$\Gamma=0$ 时两对称臂全吸收，无反射回 E 臂，输出端获得最大传输；$|\Gamma|$ 增大时，部分功率从端口 2、3 反射，端口 4 输出幅度下降，实现可变衰减。

幅度与相位随 $\Gamma$ 的变化（定性）§

$\Gamma$	物理状态	端口 4 输出
$0$	两对称臂匹配，吸收最大	传输最大（设计工作点）
$\|\Gamma\|\to1$，$\angle\Gamma$ 可调	反射增强，部分功率返回	幅度减小；相位随 $\angle\Gamma$ 变化
$\Gamma=-1$	两臂短路	强反射，输出显著降低

与 $\Gamma$ 的关系式（卷面写法）：

加载后有效传输可写为

$$ T(\Gamma)=\frac{b_4}{a_1}=f(S_{ij},\Gamma), $$

其中 $f$ 由联立 $b=Sa$ 与 $a_2=\Gamma b_2$、$a_3=\Gamma b_3$ 得到。答题时至少写出：

散射方程 + 负载边界条件；
$\Gamma=0$ 时为何输出最大；
$|\Gamma|$ 增大时幅度单调下降（衰减量增加）；
$\angle\Gamma$ 改变时输出相位随之旋转。

易错提醒§

不要把“端口 4 输出”直接等于 $S_{41}a_1$；$S$ 矩阵元素定义要求其他端口匹配（$a_2=a_3=a_4=0$），本题端口 2、3 有反射，必须用加载分析。
两路 $\Gamma$ 必须说明对称，否则不能化简。
可变衰减器的“衰减”来自反射功率增加，不是插入损耗元件本身。