05 · 自检清单与常见误区（Lec10–Lec11）§

图：检查波导场推导时，先看纵向分量和边界条件是否写对，再用 Maxwell 方程把横向场补出来。

本节你要能回答什么（总复习版）§

1. 一句话定义 波型，并各用一句话区分 TEM / TE / TM。
2. 默写：$k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$，并说明 $k$、$k_{\mathrm c}$、$\beta$ 分别由谁决定。
3. 默写矩形 TM$_{mn}$ 的 $k_x,k_y,k_{\mathrm c}$，并写出 $\mathrm{TM}_{11}$ 的 $E_z$。
4. 说出从 $E_z$ 到 $E_x,E_y,H_x,H_y$ 的依赖：偏导数 + 系数。

考前速查清单§

• [ ] 空心单导体波导 无 TEM；双导体可 TEM。
• [ ] TE：$E_z=0,\ H_z\neq 0$；TM：$H_z=0,\ E_z\neq 0$。
• [ ] Helmholtz：$\nabla^2\psi+k^2\psi=0$；行波后横向方程用 $k_{\mathrm c}^2=k^2-\beta^2$。
• [ ] 分离变量得到 $k_x^2+k_y^2+\beta^2=k^2$。
• [ ] 矩形 TM：四壁 $E_z=0$ $\Rightarrow$ $k_x=m\pi/a,\ k_y=n\pi/b,\ m,n\ge 1$。
• [ ] 截止：$k=k_{\mathrm c}$、$\beta=0$；导行：$k>k_{\mathrm c}$。
• [ ] $\lambda_{\mathrm c}=2\pi/k_{\mathrm c}$，$\lambda_{\mathrm g}=2\pi/\beta$，勿与 $\lambda_0$ 混。
• [ ] 做 $\mathrm{TM}_{11}$ 推导时，先写 $E_z$，再求偏导，最后代横向场公式。

常见误区（简表）§

Mini 综合题（口述即可）§

题：尺寸 $a\times b$ 固定的空气波导，频率缓慢升高，某一 $\mathrm{TM}_{mn}$ 模从截止变为导行，最先发生变化的是 $k$ 还是 $k_{\mathrm c}$？

参考答案要点：$k_{\mathrm c}$ 由几何与 $(m,n)$ 固定；$k$ 随 $\omega$ 增大；当 $k$ 从小于 $k_{\mathrm c}$ 增至大于 $k_{\mathrm c}$ 时，$\beta$ 由虚变实，模从截止区进入导行区。

考前口述题参考答案§

1. 波型是什么？ 波型是波导中满足 Maxwell 方程和边界条件、能够独立存在的一种场分布。TEM 表示 $E_z=H_z=0$；TE 表示 $E_z=0,H_z\neq 0$；TM 表示 $H_z=0,E_z\neq 0$。

2. 为什么空心矩形波导没有 TEM？ 非平凡 TEM 需要横截面里存在类似静电场的电位差，通常需要两个独立导体。空心矩形波导只有一圈金属壁，不具备双导体电压差，因此不支持非平凡 TEM。

3. $k$、$k_{\mathrm c}$、$\beta$ 分别由谁决定？ $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 由频率和填充介质决定；$k_{\mathrm c}$ 由横截面几何、边界条件和模指标决定；$\beta$ 由 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$ 决定，表示沿轴向传播的相位常数。

4. 为什么先求 $E_z$ 或 $H_z$？ 因为纵向分量可以作为“种子场”。先用横截面边界条件解出它的形状，再用 Maxwell 旋度方程通过偏导数生成横向场，比同时猜六个场分量更稳。

5. $\mathrm{TM}_{11}$ 的 $E_z$ 为什么是两个正弦相乘？ TM 模在四面理想导体壁上满足 $E_z=0$。在 $x=0,a$ 和 $y=0,b$ 都为零的最基本非零函数就是 $\sin(\pi x/a)\sin(\pi y/b)$。

零基础卡点急救§

第三阶段比传输线抽象，卡住时先定位是哪一层没接上：

一个实用顺序：先定波型，再选纵向种子场；先解横截面边界得到 $k_{\mathrm c}$，再用 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$ 判断能否导行；需要全场时，最后再由纵向分量求偏导。

相关链接§

• 本阶段总目录
• 00-术语与路线图.md
• 第三次作业解答 · Lec10–Lec11
• 第三次作业 · 符号与导读