02 · 波动方程与分离变量（纵向分量）§
本节你要能回答什么§
- 无源区时谐场下，电场满足的 Helmholtz 方程怎么写？
- 为什么常先求 纵向分量 $\psi\in\{E_z,H_z\}$，再推横向场？
- 分离变量后得到的 $k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$（或把 $k_z$ 换成 $\beta$）在矩形波导里如何变成离散模谱？
零基础读前翻译§
这一讲的目标不是让你一口气解出所有电磁场，而是教你把问题拆小。波导里的场有六个分量，直接求会很乱；教材通常先挑一个纵向分量，比如 $E_z$ 或 $H_z$，把它当成“种子场”。
分离变量的意思也很朴素：假设场形状可以写成“只看 $x$ 的部分 × 只看 $y$ 的部分 × 只看 $z$ 的部分”。这样三维问题就能拆成横截面问题和轴向传播问题。
先记住这条分账关系：
$$ k_x^2+k_y^2+\beta^2=k^2. $$
$k_x,k_y$ 描述横截面上要满足边界的变化；$\beta$ 描述沿 $z$ 方向前进时相位怎么变；$k$ 来自频率和介质。横截面要求越高，留给轴向传播的 $\beta$ 就越少。
直觉：先标量、后矢量§
均匀无源区域里，每个直角分量都满足同一标量 Helmholtz 方程。波导问题里再假设沿 $z$ 行波，把 $\partial_z^2\to -\beta^2$，就把三维问题拆成「横截面本征问题 + 轴向传播」。
这一步的用处是降维：直接求六个场分量很乱，先抓住 $E_z$ 或 $H_z$ 这个“种子分量”，把横截面形状解出来，再用 Maxwell 旋度方程把其他横向分量带出来。
可以把 $\psi$ 想成一个“种子场”。横截面边界先决定它能长成哪些形状；沿 $z$ 的 $\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 只负责把这个形状向前推进。
定义与符号表§
无源、时谐（$\partial/\partial t\to \mathrm j\omega$）下，电场满足
$$ \nabla^2 \boldsymbol E + k^2 \boldsymbol E = \boldsymbol 0,\qquad k^2=\omega^2\mu\varepsilon. $$
在直角坐标中，$E_x,E_y,E_z$ 各自满足
$$ \nabla^2 \psi + k^2\psi = 0. $$
取纵向分量 $\psi$ 代表 $E_z$ 或 $H_z$，设 $\psi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$，代入并除以 $\psi$：
$$ \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}+k^2=0. $$
引入分离常数，令
$$ \frac{X''}{X}=-k_x^2,\quad \frac{Y''}{Y}=-k_y^2,\quad \frac{Z''}{Z}=-k_z^2, $$
则
$$ k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2. $$
对沿 $+z$ 导行的行波，常写 $Z(z)\propto \mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$，于是 $Z''/Z=-\beta^2$，色散关系为
$$ k_x^2+k_y^2+\beta^2=k^2. $$
矩形波导（预告下一节）：理想导体壁与 $E_t=0$ 等边界条件把 $k_x,k_y$ 量子化为 $m\pi/a,\,n\pi/b$ 等形式，从而得到离散 $k_{\mathrm c}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}$。
这里的“量子化”不是量子力学专用词，只是说边界条件把连续可选的 $k_x,k_y$ 变成一串离散值。就像一根固定长度的弦只能容纳整数个半波。
深入理解：从分离变量到截止波数§
分离变量的关键不是把函数写得更漂亮，而是把“空间中往哪里变化”拆成三笔账。设 $\psi=X(x)Y(y)Z(z)$ 后，Helmholtz 方程里的二阶导数会分别落到 $X$、$Y$、$Z$ 上。除以 $XYZ$ 以后，每一项只依赖一个变量：
$$ \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}+k^2=0. $$
由于 $x,y,z$ 可以独立变化，要让这个等式处处成立，各项只能等于常数。于是取
$$ \frac{X''}{X}=-k_x^2,\qquad \frac{Y''}{Y}=-k_y^2,\qquad \frac{Z''}{Z}=-\beta^2, $$
就得到
$$ k_x^2+k_y^2+\beta^2=k^2. $$
这里 $k_x,k_y$ 不是“横向传播速度”，而是横截面场型在 $x,y$ 方向的空间变化强度。金属边界会限制这些变化强度：矩形波导里，能在宽边和窄边之间刚好满足边界条件的形状，通常只能容纳整数个半波，因此 $k_x,k_y$ 变成 $m\pi/a,n\pi/b$ 这类离散值。离散的横向账合起来就是
$$ k_{\mathrm c}^2=k_x^2+k_y^2. $$
跟读例子：若某个模式的 $k_{\mathrm c}$ 已由边界定好，而工作频率给出的 $k$ 小于它，那么 $k^2-k_{\mathrm c}^2<0$，$\beta$ 就不能作为实数轴向相位常数。此时并不是“还差一点就传播得慢”，而是这个模在轴向只剩衰减型行为，所以要先判截止，再谈导波波长。
草稿纸上怎么拆分离变量§
看到 $\psi=X(x)Y(y)Z(z)$ 时不要立刻写通解。先在草稿纸左上角画三格，把“总波数、横向本征、轴向传播”分开：
| 格子 | 先写什么 | 目的 |
|---|---|---|
| 总波数 | $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$（或空气 $k_0$） | 由频率和填充决定，不随模指标变 |
| 横向 | $k_x^2+k_y^2=k_{\mathrm c}^2$ | 由边界和 $(m,n)$ 决定，这一步给出截止门槛 |
| 轴向 | $\beta^2=k^2-k_{\mathrm c}^2$ | 判断导行还是截止；只有 $\beta$ 为实数才谈导行 |
具体写法建议：
- 先声明种子场：TM 写“先解 $E_z$”，TE 写“先解 $H_z$”，不要六个分量一起列方程。
- 再写分离关系：$k_x^2+k_y^2+\beta^2=k^2$，并注明 $Z(z)\propto \mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 是你采用的行波约定。
- 边界只作用在横向：矩形壁条件只决定 $k_x=m\pi/a$、$k_y=n\pi/b$ 和 $\sin/\cos$ 组合，不要把它写进 $Z(z)$ 里。
- 最后判传播：算出 $k_{\mathrm c}$ 后立刻比较 $k$ 与 $k_{\mathrm c}$。若 $k<k_{\mathrm c}$，$\beta$ 为虚数，停止继续算 $\lambda_{\mathrm g}$。
Lec10–11 分离变量题最容易丢分的地方是只写“设 $\psi=XYZ$”却不解释：横截面部分回答“长成什么形状”，$z$ 部分回答“这个形状沿轴怎么推进”。草稿上把这两句写出来，推导就不会像代数拼凑。
推导步骤（纲要）§
- 写出 $\nabla^2\psi+k^2\psi=0$。
- 设 $\psi=XYZ$，得到分离常数关系 $k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$。
- 用行波假设固定 $Z$ 分支，把 $k_z$ 换成 $\beta$。
- 在矩形域用边界条件确定 $k_x,k_y$ 与本征函数（$\sin/\cos$ 组合）。
与截止、色散、模式指标的挂钩§
- $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 由工作频率与填充决定；$k_{\mathrm c}$ 由几何与 $(m,n)$ 决定；二者通过 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$ 约束 $\beta$。
- TE 常先解 $H_z$；TM 常先解 $E_z$（见 04）。
易错点§
- 混淆 $k$ 与 $k_{\mathrm c}$：前者是介质波数；后者是横截面本征问题给出的截止波数。
- 忘记行波假设：没有 $\partial_z\to -\mathrm j\beta$，就无法把三维 Laplacian 拆成「横向 $+$ 纵向」的标准形式。
- 分离变量常数符号：习惯取 $k_x^2,k_y^2$ 为正（振荡解），具体用 $\sin$ 还是 $\cos$ 由边界决定。
逐题反查闭环§
本页已按 第三次作业解答 · Lec10-Lec11 · 作业 2 反查：分离变量不是为了“凑形式”，而是把纵向传播因子和横截面边界问题拆开。先选定统一的时间因子、轴向传播因子，再让纵向分量满足横向 Helmholtz 方程，最后由边界条件得到 $k_{\mathrm c}$。
作业里只写出 $X(x)Y(y)Z(z)$ 还不够；必须说明哪一步由金属边界决定模式指标，哪一步由 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$ 判断传播/截止。若时间因子或传播方向换了，公式中的正负号要整体一致，不能只改某一项。
作业怎么答§
分离变量题建议把“设形式”和“为什么这样设”一起写：
- 先写无源均匀区的 Helmholtz 方程，并说明先取 $\psi=E_z$ 或 $H_z$ 作为纵向种子场。
- 设 $\psi=X(x)Y(y)Z(z)$，代入后得到 $k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$。
- 用沿 $z$ 行波假设把 $k_z$ 换成 $\beta$，得到 $k_x^2+k_y^2+\beta^2=k^2$。
- 再说明 $k_x,k_y$ 不是随便选的，它们由矩形金属边界条件离散化。
- 最后把 $k_{\mathrm c}^2=k_x^2+k_y^2$ 带回 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$，用于判断导行或截止。
这样写能让推导从方程、分离、边界到传播条件连成一条线。
卡点急救§
| 卡点 | 可能原因 | 修正动作 |
|---|---|---|
| 只写 $\psi=XYZ$，后面没有物理含义 | 把分离变量当成代数技巧 | 补一句：横截面部分由边界定模，$z$ 部分描述轴向传播 |
| $k$、$k_x$、$k_y$、$\beta$ 混在一起 | 没区分总波数、横向分离常数和轴向相位常数 | 先写 $k_x^2+k_y^2=k_{\mathrm c}^2$，再写 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$ |
| 符号正负和教材不一致 | 时间因子或传播方向没有统一 | 先声明采用的 $\mathrm e^{-\mathrm j\beta z}$ 或教材约定，再保持全篇一致 |
Mini 自检题§
Q1：写出 $k_x^2+k_y^2+\beta^2=k^2$ 时，若 $k<k_{\mathrm c}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}$，$\beta$ 实部还是虚部？
答：$\beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2}$ 为虚数。此时沿 $z$ 方向不再是正常的相位推进，而主要表现为指数衰减，所以这个模处于截止状态。
Q2：Helmholtz 方程对 $\boldsymbol E$ 是矢量式，为何可单独对 $E_z$ 写标量式？
答：在均匀各向同性介质、直角坐标中，矢量 Laplacian 对 $E_x,E_y,E_z$ 的作用可以逐分量看待；每个直角分量都满足同样形式的标量 Helmholtz 方程。因此可以先对 $E_z$ 写 $\nabla^2E_z+k^2E_z=0$，再结合边界条件和 Maxwell 方程推出其他分量。
Q3：分离变量得到的 $k_x,k_y$ 为什么最后会变成离散值？
答：因为矩形波导的金属壁给横截面场加了边界条件。只有某些正弦或余弦组合能同时满足四面壁的条件，对应的 $k_x,k_y$ 只能取 $m\pi/a$、$n\pi/b$ 这类离散值。离散值再合成 $k_{\mathrm c}$，形成模谱。