03 · 矩形波导边界与截止（$k_{\mathrm c}$，$f_{\mathrm c}$，$\lambda_{\mathrm c}$）§
本节你要能回答什么§
- 理想导体壁上，切向电场与 法向磁场的边界条件怎么写？
- TM 模为何在四面壁上都有 $E_z=0$？
- $k_{\mathrm c}$、$f_{\mathrm c}$、$\lambda_{\mathrm c}$ 与色散式 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$ 如何配套记忆？
零基础读前翻译§
这一讲要把“金属壁会限制场”变成可计算的条件。理想导体壁上，切向电场必须为零；对矩形波导里的 TM 模来说，$E_z$ 正好沿着金属壁的切向方向，所以四面壁上都要满足 $E_z=0$。
边界条件带来的结果是：横截面里不能随便塞任意波形，只能塞进整数个半波。于是 $k_x,k_y$ 变成 $m\pi/a,n\pi/b$ 这样的离散值，进而得到每个模自己的 $k_{\mathrm c}$。
截止可以这样理解：横截面先向工作频率“收费”。如果频率给出的 $k$ 还不够支付 $k_{\mathrm c}$，这个模就不能沿波导正常传播；如果 $k>k_{\mathrm c}$，剩下的部分才变成轴向相位常数 $\beta$。
直觉：壁是「镜子」加「短路」§
理想导体近似下，金属表面切向电场为零（$\boldsymbol n\times \boldsymbol E=\boldsymbol 0$）。矩形域与坐标轴对齐时，边界把本征函数锁成离散 $\sin/\cos$，从而 $k_x,k_y$ 只能取分立值。
所以截止不是“波被损耗吃掉了”，而是这个频率给出的波数 $k$ 不够大，连横截面要求的那套场分布都撑不起来。低于截止时，场沿 $z$ 方向主要表现为衰减，而不是正常传输。
图：$k<k_{\mathrm c}$ 时 $\beta$ 为虚数，沿轴向衰减；$k>k_{\mathrm c}$ 时 $\beta$ 为实数，才进入正常导行区。
定义与符号表§
矩形波导：截面 $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$，轴向 $z$；宽边 $a$、窄边 $b$，常见 $a>b$。
理想导体边界（与 TM 的 $E_z$ 直接相关）：壁上切向 $E=0$，故在 $x=0,a$ 与 $y=0,b$ 上 $E_z=0$（TM 情形）。
由分离变量得（TM）
$$ k_x=\frac{m\pi}{a},\quad k_y=\frac{n\pi}{b},\quad m,n=1,2,\ldots $$
截止波数
$$ k_{\mathrm c}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}. $$
色散（无耗均匀填充）
$$ k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2 \quad\Leftrightarrow\quad \beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2}\quad (k>k_{\mathrm c}). $$
串讲口径：$\gamma=\alpha+j\beta$；无耗 $\alpha=0$。$k_{\mathrm c}^2=k^2-\beta^2$；$f_{\mathrm c}=k_{\mathrm c}/(2\pi\sqrt{\mu\varepsilon})$；$\lambda_{\mathrm c}=2\pi/k_{\mathrm c}$。与 01 · 三种波长 三列对照表一致。
截止：$k=k_{\mathrm c}$ 时 $\beta=0$。定义
$$ \omega_{\mathrm c}=\frac{k_{\mathrm c}}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\quad\text{（依教材可有系数约定）},\quad f_{\mathrm c}=\frac{\omega_{\mathrm c}}{2\pi},\quad \lambda_{\mathrm c}=\frac{2\pi}{k_{\mathrm c}}\ \text{（常用）}. $$
空气填充时常写 $f_{\mathrm c}=c\,k_{\mathrm c}/(2\pi)$（$c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$）。
一套非常实用的判断是：
| 条件 | $\beta$ | 状态 |
|---|---|---|
| $k<k_{\mathrm c}$ | 虚数 | 截止，沿轴向衰减 |
| $k=k_{\mathrm c}$ | $0$ | 截止边界 |
| $k>k_{\mathrm c}$ | 实数 | 可以导行 |
深入理解：边界条件怎样变成截止门槛§
金属壁的边界条件本身只是一句话：理想导体表面切向电场为零。但这句话落到矩形截面上，会把横向场型从“任意函数”筛成“只能刚好贴合四面壁的函数”。
以 TM 模为例，非零纵向种子场是 $E_z$。因为 $E_z$ 沿波导轴向，在四面侧壁上都属于切向电场，所以必须满足
$$ E_z=0\quad (x=0,a;\ y=0,b). $$
这会把横向解锁成正弦型：
$$ E_z\propto \sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}. $$
于是横向变化强度不再连续可选，而是被量化成 $m\pi/a$ 和 $n\pi/b$。TE 模的边界细节不同，常从 $H_z$ 的法向导数条件进入，但结果同样是得到一组离散的横向本征值。
截止波数可以理解为横截面场型提出的“最低空间变化成本”：
$$ k_{\mathrm c}^2=k_x^2+k_y^2. $$
工作频率给出的总波数 $k$ 要先支付这笔横向成本，剩下的部分才是轴向传播常数：
$$ \beta^2=k^2-k_{\mathrm c}^2. $$
因此截止不是墙壁把能量吸收掉，也不是某个经验频率。它是边界条件、本征场型和工作频率三者共同决定的门槛。跟读检查：只要题目问“为什么这个模不能传播”，答案里至少要出现 $k_{\mathrm c}$ 和 $\beta^2=k^2-k_{\mathrm c}^2$，不能只说“频率太低”。
草稿纸上怎么判截止§
截止题不要从频率公式开始背。草稿纸上按“模类 → 本征值 → 比较”三步走：
- 先判模类：TM 从 $E_z$ 在壁面为零入手，TE 从 $H_z$ 的法向导数入手；下标合法性（TM 常要 $m,n\ge1$）在这一步就定下来。
- 写 $k_{\mathrm c}$：由边界得到 $k_x,k_y$，合成 $k_{\mathrm c}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}$。这一步只跟几何和 $(m,n)$ 有关，跟工作频率无关。
- 再写工作波数：$k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$。有介质填充时，先确认题目给的是真空频率还是介质参数，不要把 $\varepsilon_r$ 误写进 $k_{\mathrm c}$。
- 一行判传播：$\beta^2=k^2-k_{\mathrm c}^2$。 - $k>k_{\mathrm c}$：导行，$\beta$ 为实数，可继续算 $\lambda_{\mathrm g}=2\pi/\beta$。 - $k=k_{\mathrm c}$：截止边界，$\beta=0$。 - $k<k_{\mathrm c}$：截止以下，停在这里，不要开方求实数 $\lambda_{\mathrm g}$。
若题目给的是波长而不是 $k$，可在草稿边缘写等价比较：空气波导导行条件常写成 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$，但比较前必须确认是同一模的 $\lambda_{\mathrm c}$。换 $(m,n)$ 就换门槛，不能拿主模的 $\lambda_{\mathrm c}$ 去判高阶模。
推导步骤§
- 写出横截面上 $(\nabla_t^2+k_{\mathrm c}^2)\psi=0$（$\psi$ 为 $E_z$ 或 $H_z$，依模类而定）。
- 分离变量得 $k_x,k_y$ 与通解。
- 代入四壁边界，确定本征值 $k_x=m\pi/a,\ k_y=n\pi/b$。
- 由 $k_{\mathrm c}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}$ 得截止；由 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$ 讨论导行条件 $k>k_{\mathrm c}$。
与截止、色散、模式指标的挂钩§
- 每一组 $(m,n)$ 对应一个模与一个 $k_{\mathrm c}$；最低 $k_{\mathrm c}$ 的模称主模（矩形波导通常为 $\mathrm{TE}_{10}$，本册作业重点在 $\mathrm{TM}_{11}$）。
- $k$ 随频率升高而增大：固定模下，频率足够高才能 $k>k_{\mathrm c}$ 进入导行区。
易错点§
- TM 的 $m,n$：若 $m=0$ 或 $n=0$，则 $E_z$ 可能恒为零（需逐式检查），故 TM 常要求 $m,n\ge 1$。
- 把 $\lambda_{\mathrm g}$ 与 $\lambda_{\mathrm c}$ 混淆：$\lambda_{\mathrm g}=2\pi/\beta$ 是导行波长；$\lambda_{\mathrm c}$ 是截止波长（与 $k_{\mathrm c}$ 对应）。
- 填充介质改变 $k$：同一几何下 $k_{\mathrm c}$ 由截面决定，但 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 随 $\varepsilon_r$ 变化，截止频率关系需用 $k$ 与 $k_{\mathrm c}$ 重新比较。
逐题反查闭环§
本页已按 第三次作业解答 · Lec10-Lec11 和后续 Lec13-Lec16 题解反查：理想金属壁给出的关键条件是切向电场为零。矩形波导中 TM 模通常要求 $E_z$ 在金属边界为零，TE 模则对应纵向磁场的法向导数条件；两类模式的下标合法性不能混用。
截止判断统一写成 $\beta^2=k^2-k_{\mathrm c}^2$：$k>k_{\mathrm c}$ 才能传播，$k=k_{\mathrm c}$ 为截止边界，$k<k_{\mathrm c}$ 为截止以下。不要在截止以下继续代入导波波长，也不要把介质填充对 $k$ 的影响误写成几何本征值 $k_{\mathrm c}$ 改变。
作业怎么答§
边界与截止题建议分成“边界给本征值”和“本征值给截止”两段：
- 先写理想导体边界：壁上切向电场为零。
- 若讨论 TM 模，说明 $E_z$ 在四面壁上为零，因此常得到正弦型本征函数和 $m,n\ge1$。
- 由边界条件得到 $k_x,k_y$，再写 $k_{\mathrm c}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}$。
- 用 $\beta^2=k^2-k_{\mathrm c}^2$ 判断：$k>k_{\mathrm c}$ 导行，$k=k_{\mathrm c}$ 截止边界，$k<k_{\mathrm c}$ 截止。
- 若有介质填充，说明几何 $k_{\mathrm c}$ 不变，但 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 改变。
答题时不要把“边界条件”直接跳到“截止频率”，中间的 $k_{\mathrm c}$ 是连接两者的关键。
卡点急救§
| 卡点 | 可能原因 | 修正动作 |
|---|---|---|
| 把 TE 和 TM 的边界条件混用 | 没先判纵向种子场 | TM 先看 $E_z$，TE 先看 $H_z$；下标合法性也不同 |
| 截止以下仍计算实数导波波长 | 忘了 $\beta^2=k^2-k_{\mathrm c}^2$ 的符号 | 先判断 $k>k_{\mathrm c}$，不满足就停止传播模计算 |
| 介质填充时说 $k_{\mathrm c}$ 变了 | 把几何本征值和介质波数混淆 | 固定几何下 $k_{\mathrm c}$ 由边界和模指标决定；介质改变的是同频率下的 $k$ |
Mini 自检题§
Q1：$\beta=0$ 时，$k$ 与 $k_{\mathrm c}$ 关系如何？
答：由 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$ 可知，$\beta=0$ 时 $k=k_{\mathrm c}$。这正是截止边界：再低一点 $\beta$ 就变成虚数，不能正常导行。
Q2：空气填充、尺寸固定的矩形波导，把内部改为 $\varepsilon_r>1$ 的介质，同一模的 $k_{\mathrm c}$ 变不变？$f_{\mathrm c}$ 变不变？
答：若介质均匀充满且各向同性，理想导体边界决定的横截面本征值 $k_{\mathrm c}$ 通常不变，因为几何尺寸和模指标没变。但 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 会随介电常数变大而改变；达到 $k=k_{\mathrm c}$ 所需的频率会降低，所以截止频率 $f_{\mathrm c}$ 会变小。作业中遇到介质填充，要重新用 $k$ 和 $k_{\mathrm c}$ 比较导行条件。
Q3：为什么 TM 模通常要求 $m,n\ge1$？
答：TM 模以非零 $E_z$ 为纵向种子场。矩形金属壁要求 $E_z$ 在四面边界为零，非平凡解通常需要在 $x$、$y$ 两个方向都有正弦变化；若某个下标为 0，$E_z$ 可能退化为恒零，不能形成非平凡 TM 模。
相关链接§
- 上一节：02-波动方程与分离变量（纵向分量）.md
- 下一节：04-从Ez到全场的推导套路（TM例）.md
- 作业解答中的「截止波数」段：第三次作业解答 · Lec10–Lec11