第 5 题：由两次加载测量反求二端口 \(S\) 矩阵§

对应知识点：02-微波网络基础与 S 参数

题目：有一个二端口网络，当其端口 1 接信号源、端口 2 接反射系数为 \(\Gamma_{La}\) 的负载时，测得端口 1 的反射系数为 \(\Gamma_a\)、端口 1 到端口 2 的传输系数为 \(T_a\)；当端口 2 接信号源、端口 1 接反射系数为 \(\Gamma_{La}\) 的负载时，测得端口 2 的反射系数为 \(\Gamma_b\)、端口 2 到端口 1 的传输系数为 \(T_b\)。求该二端口网络的散射矩阵 \([S]\)。

图：正向测量给出 \(\Gamma_a,T_a\)，反向测量给出 \(\Gamma_b,T_b\)；加载传输系数需先去除负载反射影响，不能直接当作 \(S_{21},S_{12}\)。

一、记号简化§

令

\[ L=\Gamma_{La},\qquad P=T_aT_b. \]

二、端口 1 激励时§

端口 2 接负载 \(L\)，所以

\[ \Gamma_a=S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}L}{1-S_{22}L}. \]

此时端口 1 到端口 2 的加载传输系数为

\[ T_a=\frac{S_{21}}{1-S_{22}L}. \]

三、端口 2 激励时§

同理，

\[ \Gamma_b=S_{22}+\frac{S_{12}S_{21}L}{1-S_{11}L}, \]

\[ T_b=\frac{S_{12}}{1-S_{11}L}. \]

四、反求矩阵元素§

由

\[ S_{12}=T_b(1-S_{11}L), \qquad S_{21}=T_a(1-S_{22}L) \]

代回反射式，可得

\[ \boxed{ S_{11}= \frac{\Gamma_a-PL}{1-PL^2} } \]

\[ \boxed{ S_{22}= \frac{\Gamma_b-PL}{1-PL^2} } \]

然后

\[ \boxed{ S_{21}=T_a(1-S_{22}L) } \]

\[ \boxed{ S_{12}=T_b(1-S_{11}L) } \]

于是

\[ \boxed{ [S]= \begin{bmatrix} \dfrac{\Gamma_a-PL}{1-PL^2} & T_b(1-S_{11}L) \\[1.2em] T_a(1-S_{22}L) & \dfrac{\Gamma_b-PL}{1-PL^2} \end{bmatrix} } \]

其中右侧的 \(S_{11}\)、\(S_{22}\) 取上面两式。

五、结论与易错点§

若 \(L=0\)，也就是另一端口接匹配负载，则立刻退化为

\[ S_{11}=\Gamma_a,\qquad S_{22}=\Gamma_b,\qquad S_{21}=T_a,\qquad S_{12}=T_b. \]

易错点：\(T_a\)、\(T_b\) 是加载条件下测得的传输系数，不一定直接等于 \(S_{21}\)、\(S_{12}\)；只有负载匹配时才可直接等同。