第 3 题：圆柱谐振腔三种模式的谐振波长§

对应知识点：01-微波谐振器与谐振腔

题目：对于半径为 \(R\)、长度为 \(l\) 的圆形谐振腔，求 \(\mathrm{TE}_{011}\)、\(\mathrm{TE}_{111}\)、\(\mathrm{TM}_{010}\) 模的谐振波长。

图：圆柱腔谐振波长由横向贝塞尔根项和轴向驻波项共同决定；\(\mathrm{TM}_{010}\) 是 \(p=0\) 的常见特例。

一、前置知识§

圆柱腔中

\[ k^2=k_c^2+\left(\frac{p\pi}{l}\right)^2,\qquad \lambda_r=\frac{2\pi}{k}. \]

TE 模使用贝塞尔导数根 \(\chi'_{mn}\)，TM 模使用贝塞尔函数根 \(\chi_{mn}\)。

二、标准解答§

1. \(\mathrm{TE}_{011}\)§

该模式使用 \(\chi'_{01}=3.832\)，且 \(p=1\)：

\[ k_{\mathrm{TE}_{011}} =\sqrt{\left(\frac{3.832}{R}\right)^2+\left(\frac{\pi}{l}\right)^2}. \]

\[ \boxed{ \lambda_{\mathrm{TE}_{011}} =\frac{2\pi}{ \sqrt{(3.832/R)^2+(\pi/l)^2} }} \]

2. \(\mathrm{TE}_{111}\)§

该模式使用 \(\chi'_{11}=1.841\)，且 \(p=1\)：

\[ \boxed{ \lambda_{\mathrm{TE}_{111}} =\frac{2\pi}{ \sqrt{(1.841/R)^2+(\pi/l)^2} }} \]

3. \(\mathrm{TM}_{010}\)§

该模式使用 \(\chi_{01}=2.405\)，且 \(p=0\)：

\[ k_{\mathrm{TM}_{010}}=\frac{2.405}{R}. \]

\[ \boxed{ \lambda_{\mathrm{TM}_{010}} =\frac{2\pi R}{2.405} \approx2.61R } \]

三、结论与易错点§

三种模式的谐振波长分别为

\[ \boxed{ \lambda_{\mathrm{TE}_{011}} =\frac{2\pi}{\sqrt{(3.832/R)^2+(\pi/l)^2}}, \quad \lambda_{\mathrm{TE}_{111}} =\frac{2\pi}{\sqrt{(1.841/R)^2+(\pi/l)^2}}, \quad \lambda_{\mathrm{TM}_{010}} =\frac{2\pi R}{2.405}. } \]

易错点：\(\mathrm{TM}_{010}\) 的 \(p=0\)，因此不含 \(\pi/l\) 项；TE 模不能误用 \(\chi_{mn}\)，应使用 \(\chi'_{mn}\)。