第 3 题：理想传输线的散射矩阵§

对应知识点：02-微波网络基础与 S 参数

题目：利用网络参量的定义式，求长度为 \(l\) 的一段理想传输线的散射矩阵 \([S]\) 的表示式；当 \(l=\lambda/3\) 时，给出 \([S]\) 各分量的具体值。

图：参考阻抗等于特性阻抗时，一段理想传输线没有端口反射，只在两个方向上引入相同传播相移。

一、前置知识§

理想无耗传输线两端参考阻抗取为其特性阻抗 \(Z_0\) 时，两端都匹配，因此没有反射：

\[ S_{11}=S_{22}=0. \]

波沿长度 \(l\) 传播只产生相移 \(e^{-j\beta l}\)。

二、标准解答§

由定义得

\[ S_{21}=e^{-j\beta l},\qquad S_{12}=e^{-j\beta l}. \]

所以

\[ \boxed{ [S]= \begin{bmatrix} 0 & e^{-j\beta l}\\ e^{-j\beta l} & 0 \end{bmatrix} } \]

当

\[ l=\frac{\lambda}{3},\qquad \beta=\frac{2\pi}{\lambda}, \]

则

\[ \beta l=\frac{2\pi}{3}. \]

\[ e^{-j2\pi/3} =\cos\frac{2\pi}{3}-j\sin\frac{2\pi}{3} =-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt3}{2}. \]

因此

\[ \boxed{ [S]= \begin{bmatrix} 0 & -\frac12-j\frac{\sqrt3}{2}\\ -\frac12-j\frac{\sqrt3}{2} & 0 \end{bmatrix} } \]

三、结论与易错点§

理想匹配传输线不会引入反射，只引入双向相同的相位延迟。

易错点：不要把 \(e^{-j\beta l}\) 写成 \(e^{+j\beta l}\) 后又不说明相量传播约定；本解答采用沿传输方向传播相移为 \(e^{-j\beta l}\) 的约定。