第 9 题：等效相对介电常数、定义、含义及填充因子计算§

对应知识点：03-微带线准TEM与有效介电常数

题目：什么是等效相对介电常数，是如何定义的？含义是什么？如何用介质的相对介电常数和填充因子计算等效相对介电常数？

对应知识点：微带线等效均匀化、传播常数定义、相速与导波波长定义、填充因子 \(q\)、\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\) 与 \(\varepsilon_r\) 的区别。

图：\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\) 描述“部分空气、部分介质”的等效传播结果，不是基片 \(\varepsilon_r\) 本身；\(q\) 越大，介质影响越强，相速越低，导波波长越短。

一、前置知识§

微带线的场一部分在介质基片中，一部分在空气中。为了用类似均匀传输线的形式描述其主模传播，常引入等效相对介电常数 \(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\)。它通常满足

\[ 1<\varepsilon_{\mathrm{eff}}<\varepsilon_r. \]

二、分析思路§

从传播常数、相速或导波波长给出 \(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\) 的定义，再说明它的物理含义。最后引入填充因子 \(q\)，把空气与介质的贡献写成加权平均。

三、标准解答§

等效相对介电常数的定义可从传播常数或相速给出：

\[ \beta=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}, \]

即

\[ \varepsilon_{\mathrm{eff}} =\left(\frac{\beta}{k_0}\right)^2 =\left(\frac{c}{v_{\mathrm p}}\right)^2 =\left(\frac{\lambda_0}{\lambda_{\mathrm g}}\right)^2. \]

其中 \(v_{\mathrm p}\) 为微带线相速，\(\lambda_{\mathrm g}\) 为微带线中的导波波长。

等效相对介电常数的物理含义是：用一个均匀填充、相对介电常数为 \(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\) 的等效介质，替代实际“部分空气、部分介质”的非均匀横截面，使其具有相同或近似相同的相速、传播常数和单位长度电容。

若引入填充因子 \(q\)，表示电场能量或等效电容受介质影响的比例，则

\[ q=\frac{\varepsilon_{\mathrm{eff}}-1}{\varepsilon_r-1},\qquad 0<q<1. \]

因此

\[ \boxed{\varepsilon_{\mathrm{eff}}=1+q(\varepsilon_r-1)} \]

也可写成

\[ \varepsilon_{\mathrm{eff}}=(1-q)\cdot1+q\varepsilon_r. \]

该式说明：

• \(q=0\) 表示场几乎都在空气中，\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\approx1\)；
• \(q=1\) 表示场等效上完全在介质中，\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\approx\varepsilon_r\)；
• 实际微带线 \(0<q<1\)，所以 \(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\) 介于 \(1\) 与 \(\varepsilon_r\) 之间；
• \(q\) 越大，电场越多集中在介质中，\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\) 越大，相速越低，导波波长越短。

四、结论与易错点§

\[ \boxed{\varepsilon_{\mathrm{eff}}=1+q(\varepsilon_r-1),\qquad 1<\varepsilon_{\mathrm{eff}}<\varepsilon_r.} \]

易错点：\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\) 不是基片介电常数 \(\varepsilon_r\) 本身，而是空气区和介质区共同作用后的等效值。