第 4 题：矩形腔 \(\mathrm{TE}_{101}\) 模固有品质因数§
对应知识点：01-微波谐振器与谐振腔
题目：设一矩形波导尺寸为 \(a,b,l\)，其材质的趋肤深度为 \(\delta\)，求其 \(\mathrm{TE}_{101}\) 模式下的固有品质因数。
图：固有 \(Q_0\) 的推导要从场型出发，体积分得到储能 \(W\)，壁面积分得到导体损耗 \(P_c\)，最后代入 \(Q_0=\omega W/P_c\)。
一、前置知识§
固有品质因数只考虑腔体自身损耗：
\[ Q_0=\omega\frac{W}{P_c}. \]
导体壁损耗为
\[ P_c=\frac{R_s}{2}\oint |H_t|^2\,dS,\qquad R_s=\frac{\omega\mu\delta}{2}. \]
二、场分布§
取
\[ k_x=\frac{\pi}{a},\qquad k_z=\frac{\pi}{l},\qquad k^2=k_x^2+k_z^2. \]
对 \(\mathrm{TE}_{101}\) 模，可取
\[ E_y=E_0\sin k_x x\sin k_z z, \]
\[ H_x=-j\frac{k_z}{\omega\mu}E_0\sin k_x x\cos k_z z, \qquad H_z=j\frac{k_x}{\omega\mu}E_0\cos k_x x\sin k_z z. \]
三、储能与损耗§
谐振时平均电储能和磁储能相等，总储能可写为
\[ W=\frac{\varepsilon}{2}\int |E_y|^2\,dV =\frac{\varepsilon |E_0|^2abl}{8}. \]
六个金属壁面的切向磁场积分为
\[ \oint |H_t|^2\,dS =\frac{|E_0|^2}{(\omega\mu)^2} \left[ blk_x^2+\frac{al}{2}(k_x^2+k_z^2)+abk_z^2 \right]. \]
因此
\[ P_c= \frac{R_s|E_0|^2}{2(\omega\mu)^2} \left[ blk_x^2+\frac{al}{2}k^2+abk_z^2 \right]. \]
代入 \(Q_0=\omega W/P_c\)，并利用 \(k^2=\omega^2\mu\varepsilon\)、\(R_s=\omega\mu\delta/2\)，得
\[ \boxed{ Q_0= \frac{k^2abl} {2\delta\left[ blk_x^2+\frac{al}{2}k^2+abk_z^2 \right]} } \]
其中
\[ k_x=\frac{\pi}{a},\qquad k_z=\frac{\pi}{l},\qquad k^2=\left(\frac{\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{\pi}{l}\right)^2. \]
四、结论与易错点§
本题最重要的是推导路径：
- 写出 \(\mathrm{TE}_{101}\) 场型；
- 用体积分算储能；
- 用壁面切向磁场积分算导体损耗；
- 代入 \(Q_0=\omega W/P_c\)。
易错点：不要只把 \(b\) 从谐振频率公式里删掉；虽然 \(b\) 不显含于 \(\mathrm{TE}_{101}\) 谐振频率，但它进入壁面面积和导体损耗，因此会影响 \(Q_0\)。