Lec07 · Smith 圆图怎么读§
临考刷口诀 → Smith 圆图专题（六口诀、导纳匹配、易错自检）
本节先抓住一句话§
Smith 圆图不是新公式，而是把
$$ \bar z=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} $$
这件事画成了一张图。你在圆图上移动，本质是在改变反射系数 $\Gamma$ 的相位。
图：Smith 圆图的底层是 $\Gamma$ 平面。圆心是匹配，外圆是全反射；无耗线向源移动时沿等 $|\Gamma|$ 圆旋转。
零基础读前翻译§
第一次看 Smith 圆图时，不要试图把所有圆弧一次看懂。先把它当成一张“反射地图”：
- 地图上的每个点，先代表一个反射系数 $\Gamma$。
- 点离圆心越远，反射越强；圆心就是无反射匹配。
- 图上密密麻麻的圆弧，是为了让你在同一个点上顺便读出归一化阻抗 $\bar z$ 或导纳 $\bar y$。
读图的最低限度流程只有三步：先把阻抗除以 $Z_c$ 做归一化，再在图上找点，最后把读出的归一化结果乘回去。沿线移动时，不是跳到另一条半径上，而是沿同一个 $|\Gamma|$ 圆转圈。
真正上手时，不要把圆图当成一张要背下来的图。它更像一张带很多辅助线的坐标纸：题目只给一个 $r$ 和一个 $x$，你就只找那一条等 $r$ 圆和那一条等 $x$ 弧；题目要沿线移动，你就只沿过负载点的等 $|\Gamma|$ 圆走。其余灰线先当背景，不需要逐条读懂。
圆图到底画在哪个平面§
Smith 圆图的底层平面是反射系数平面，也就是 $\Gamma$ 平面。
无源负载满足
$$ |\Gamma|\le 1, $$
所以点都落在单位圆内或圆上。圆心是
$$ \Gamma=0, $$
也就是匹配点。越靠近圆心，反射越小；越靠近外圆，反射越强。
为什么图上能读阻抗§
归一化阻抗定义为
$$ \bar z=\frac{Z}{Z_c}=r+jx. $$
它和 $\Gamma$ 的关系为
$$ \bar z=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}. $$
所以每一个 $\Gamma$ 点都对应一个归一化阻抗 $\bar z$。Smith 圆图把“等 $r$”和“等 $x$”的轨迹都画出来了：
- 等 $r$ 圆：归一化电阻 $r$ 不变。
- 等 $x$ 弧：归一化电抗 $x$ 不变。
读数时先归一化，再在图上找点；最终要乘回 $Z_c$。
例如 $Z_c=50\,\Omega$、$Z_L=(100+j75)\,\Omega$，先写
$$ \bar z_L=\frac{Z_L}{Z_c}=2+j1.5. $$
这句话已经把“怎么找点”说完了一半：在阻抗圆图上找 $r=2$ 的等电阻圆，再找 $x=+1.5$ 的等电抗弧，两者交点就是负载点。这里的 $2$ 和 $1.5$ 都没有单位，它们不是 $100\,\Omega$ 和 $75\,\Omega$ 本身，而是除以 $50\,\Omega$ 后得到的相对数。
正负号也不能忽略。阻抗图上 $x>0$ 通常在上半圆，对应感性；$x<0$ 通常在下半圆，对应容性。若题目是 $100-j50\,\Omega$，归一化后是 $2-j1$，就应在 $r=2$ 圆和 $x=-1$ 弧的交点找，而不是仍在上半圆找。
满图灰线怎么下手§
纸质 Smith 圆图最容易让初学者紧张的不是公式，而是灰线太密。处理办法很简单：先把所有灰线分成两类。
第一类是等电阻圆。归一化阻抗写成 $\bar z=r+jx$，若固定 $r$、让 $x$ 变化，就得到一条等 $r$ 圆。$r=1$ 的圆很常见，因为它经过匹配点附近，是很多匹配题的目标参考。$r$ 越大，等 $r$ 圆通常越靠近右端；$r=0$ 的边界对应纯电抗一族。
第二类是等电抗弧。固定 $x$、让 $r$ 变化，就得到等 $x$ 弧。$x=+1$、$+2$ 在上半边，$x=-1$、$-2$ 在下半边。找点时不需要沿着弧算什么，只要找到“某条 $r$ 圆”和“某条 $x$ 弧”的交点。
所以标一个阻抗点时，可以按四句话做：
- 先算 $\bar z=Z/Z_c$。
- 读出 $r=\mathrm{Re}\,\bar z$ 和 $x=\mathrm{Im}\,\bar z$。
- 在图上只找这一个 $r$ 圆和这一个 $x$ 弧。
- 交点定好后，再从圆心到该点读 $\Gamma$ 的模和角。
如果手边圆图没有刚好标出 $x=1.5$，不要硬造一条精确线；在 $x=1$ 和 $x=2$ 之间插读即可。圆图本来就允许小视差，最后用解析式验算。
几个特殊点§
| 位置 | 归一化阻抗 | 反射系数 | 含义 |
|---|---|---|---|
| 圆心 | $\bar z=1$ | $\Gamma=0$ | 匹配 |
| 最右端 | $\bar z\to\infty$ | $\Gamma=+1$ | 开路 |
| 最左端 | $\bar z=0$ | $\Gamma=-1$ | 短路 |
| 外圆 | 纯电抗 | $|\Gamma|=1$ | 全反射 |
做题时如果点标错，先用这些特殊点校准一下。
串讲三部分：Smith 圆图 = 等 $|\Gamma|$ 极坐标圆族 + 等电阻圆（圆心在实轴右半、均过 $(1,0)$）+ 等电抗圆弧（圆心在 $x=1$ 竖线、均过 $(1,0)$）。
实轴与旋转：
| 位置 | 读数 |
|---|---|
| 右半实轴 | 纯电阻；读驻波比 $\rho$ |
| 左半实轴 | 纯电阻；读行波系数 $K=1/\rho$ |
| 外圆 $|\Gamma|=1$ | 纯电抗，全反射 |
| 上半平面 / 下半平面 | 感性 / 容性 |
| 顺时针 | 向电源；逆时针 |
导纳题在阻抗圆图上把 $g$ 当 $r$、$b$ 当 $x$ 读点；从输入反求负载时，向负载旋转（逆时针）距离 $l/\lambda$。
沿线移动为什么是转圈§
本套讲义约定 $z$ 自负载向源，无耗线中
$$ \Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}. $$
所以沿线移动不会改变 $|\Gamma|$，只会改变相位。图上表现为：
- 沿等 $|\Gamma|$ 圆旋转。
- 本套讲义配套图中，向源移动按顺时针读。
- 移动距离 $l$，相位转过 $2\beta l$。
如果 $l=\lambda/4$，则 $2\beta l=\pi$，在圆图上转半圈；如果 $l=\lambda/2$，则转一整圈，回到原点位。
这里的“转过 $2\beta l$”很容易被少算一倍。因为
$$ \beta=\frac{2\pi}{\lambda}, \qquad 2\beta l=4\pi\frac{l}{\lambda}. $$
所以向源走 $0.2\lambda$，圆图上的反射系数相位转过的是 $0.8\pi$，也就是 $144^\circ$，不是 $72^\circ$。纸质 Smith 图外圈常直接标“toward generator / toward load”的波长刻度，就是为了让你不用每次把角度换来换去。
做题时先问清楚题目给的长度是哪一段：
- 若说“始端距负载 $0.2\lambda$”，通常是从负载点向源转 $0.2\lambda$。
- 若说“从某个波节回到负载”，就是向负载方向转，同一张图上方向相反。
- 若只是求负载处 $\Gamma$ 或驻波比，不需要旋转，标完负载点直接读半径即可。
圆图上转一整圈对应 $l=\lambda/2$，这就是输入阻抗沿无耗线每半个波长重复一次的图形解释。题目问“最短线长”时，就是在同一个等 $|\Gamma|$ 圆上取符合方向的最短弧；题目问通解时，再加 $n\lambda/2$。
阻抗图和导纳图§
并联问题常用导纳：
$$ \bar y=\frac{Y}{Y_c}=g+jb. $$
因为
$$ \bar y=\frac{1}{\bar z}. $$
在 Smith 圆图上，阻抗点和导纳点通常相差半圈，也就是转 $\lambda/4$ 对径的位置。实际做题有两种习惯：
- 先在阻抗图上读 $\bar z$，再转成 $\bar y=1/\bar z$。
- 直接使用导纳圆图读 $g$、$b$。
并联支节匹配推荐用导纳，因为结点上导纳直接相加。
这里的 $\bar y$ 是归一化导纳：
$$ \bar y=\frac{Y}{Y_c}=YZ_c. $$
它不是把欧姆值随手取倒数后就结束。若先在阻抗图上得到 $\bar z=2-j1$，则 $\bar y=1/(2-j1)=0.4+j0.2$。并联支节题里真正要相加的是 $\bar y_{\mathrm{line}}+\bar y_{\mathrm{stub}}$，不是 $\bar z_{\mathrm{line}}+\bar z_{\mathrm{stub}}$。
圆图上常说“转半圈得到导纳点”，这是一种读图换坐标的做法，不表示物理结构真的多走了一段 $\lambda/4$。只有题目明确有一段无耗线并且长度为 $\lambda/4$ 时，半圈旋转才对应实际传输线长度。
圆图和公式如何互相验算§
圆图适合快速读方向和近似值，公式适合精确计算。两者应该互相验证。
常用公式：
$$ \Gamma=\frac{\bar z-1}{\bar z+1}, \qquad \bar z=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}. $$
如果圆图读到 $\rho$，可以用
$$ \rho=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} $$
验算。圆图上等 $|\Gamma|$ 圆越大，$\rho$ 越大。
Lec07 里常见的题可以拆成几种固定动作：
- 求终端反射系数：归一化后标点，或者直接用 $\Gamma=(\bar z_L-1)/(\bar z_L+1)$。
- 求驻波比：先求 $|\Gamma|$，再代入 $\rho=(1+|\Gamma|)/(1-|\Gamma|)$；$\rho$ 不看辐角，只看半径。
- 求输入阻抗：从负载点沿等 $|\Gamma|$ 圆向源转给定 $l/\lambda$，终点读 $\bar z_{\mathrm{in}}$，最后乘 $Z_c$。
- 反求线长：已知负载点和输入点，先核对两点是否在同一个等 $|\Gamma|$ 圆上，再沿正确方向量弧长。
- 由波节位置反推负载：先由 $\rho$ 定半径，再从电压最小点的相位位置倒推 $\Gamma_L$。
这些动作看似都在圆图上画线，本质却不同。求 $\rho$ 时只读半径；求 $Z_{\mathrm{in}}$ 时要旋转；求导纳时是同一点换读法；反求线长时是两点之间量弧。把动作分清，题目就不会互相串。
反解线长怎么读§
已知 $Z_L$ 和某截面的 $Z_{\mathrm{in}}$，要反求这段线长时，圆图法不是从零猜长度，而是先把两个点都标出来。
- 先算 $\bar z_L=Z_L/Z_c$ 和 $\bar z_{\mathrm{in}}=Z_{\mathrm{in}}/Z_c$。
- 在阻抗圆图上分别标出负载点和输入截面点。
- 检查两点是否落在同一个等 $|\Gamma|$ 圆上。无耗线只改相位不改模，若两点半径明显不同，先检查归一化或数据。
- 从负载点按“向源”方向转到输入点，读外圈波长刻度差。
- 若题目要最短距离，取最短正弧；若题目要通解，写成 $l=l_0+n\lambda/2$。
解析式里同一件事表现为 $\tan\beta l$ 的多值。因为 $\tan$ 周期是 $\pi$，所以 $l$ 增加 $\lambda/2$ 后输入阻抗重复。圆图上就是同一个点每转一整圈又回到原处。
波节位置反推负载怎么画§
驻波比给的是半径，波节位置给的是相位。以本册约定 $z$ 自负载向源为准，电压最小点处可取
$$ \Gamma(z_{\min})=-|\Gamma|. $$
这个点在 $\Gamma$ 平面的负实轴上，因为电压最小时反射电压与入射电压反相叠加。若已知第一波节距负载 $z_{\min}$，则
$$ \Gamma_L=\Gamma(z_{\min})e^{j2\beta z_{\min}} =-|\Gamma|e^{j2\beta z_{\min}}. $$
圆图上可以这样想：先由 $\rho$ 画出 $|\Gamma|$ 圆，再在负实轴上放下“波节点”，最后从波节点向负载方向转 $z_{\min}/\lambda$，得到负载点 $\Gamma_L$。这个方向和“从负载向源求输入阻抗”相反。
拿到 $\Gamma_L$ 后，不要停在反射系数上。题目若要负载阻抗，还要回到
$$ Z_L=Z_c\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}. $$
这类题最常见的错法有两个：一是只用 $\rho$ 求了 $|\Gamma|$，忘了波节位置还决定相位；二是把“从波节回负载”的方向画成向源，导致虚部符号反掉。
深入理解：Smith 圆图先是反射地图，其次才是阻抗尺§
初学者常把 Smith 圆图看成一张复杂的阻抗表，但它的底层其实是 $\Gamma$ 平面。圆心是 $\Gamma=0$，代表匹配；外圆是 $|\Gamma|=1$，代表全反射；半径大小直接对应反射强弱。
阻抗读数来自双线性变换：
$$ \bar z=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}. $$
这条式子把 $\Gamma$ 平面上的点重新标上了等电阻圆和等电抗弧。也就是说，图上密密麻麻的曲线不是另一套物理规律，而是为了让你不用每次都手算 $\bar z$。
沿线移动之所以是在圆上转，是因为无耗线不改变反射强弱：
$$ \Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}. $$
指数因子只改相位，不改模长。因此在圆图上，移动参考面就是沿同一个等 $|\Gamma|$ 圆旋转。转了多远由 $2\beta l$ 决定，而不是 $\beta l$，因为入射波和反射波的相对相位一起在变。
导纳图也不要神秘化。并联问题需要 $\bar y=1/\bar z$，在圆图上常表现为转到对径位置。它不是说结构真的多走了 $\lambda/4$，而是同一个负载点换成导纳读法后，方便直接做并联相加。
跟读检查：圆图题若出错，先按四件事排查：是否归一化，是否把阻抗点转成导纳点，向源/向负载方向是否一致，最后是否反归一化。
再加一个更朴素的检查：所有无源负载点都应在单位圆内或圆上。若你算出的 $|\Gamma|>1$，通常不是圆图读错一点，而是归一化、复数除法或符号约定出了根本错误。
逐题反查闭环§
本页已按 第二次作业 · Lec07 反查：Smith 圆图的底层平面是 $\Gamma$ 平面，阻抗读数来自 $\bar z=(1+\Gamma)/(1-\Gamma)$。本册沿用作业导读口径：从负载向源移动时，圆图上按“向源”刻度旋转；方向必须和 $\Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}$ 的相位约定一致。
并联题读圆图时，应先把阻抗点转成导纳点，再做导纳加法；图上的半圈变换不是“换了物理结构”，只是同一反射点在阻抗/导纳读法之间切换。圆图结果应能用解析式回算 $|\Gamma|$、$\rho$ 或 $Z_{\mathrm{in}}$，两者不一致时优先检查归一化和旋转方向。
对 Lec07 第 3、4 题这种沿线移动题，负载点和目标点必须在同一个等 $|\Gamma|$ 圆上；对第 5 题这种波节反推题，$\rho$ 只给圆的半径，第一波节位置才给负载点的角度。因此“读圆图”不是统一画一条线，而是先判断这道题到底是在读半径、读角度、读弧长，还是换阻抗/导纳坐标。
作业怎么答§
Lec07 的圆图题建议这样写：
- 归一化：$\bar z=Z/Z_c$ 或 $\bar y=Y/Y_c$。
- 标点：用 $r$ 圆和 $x$ 弧找到负载点；若用导纳图，先把 $\bar z$ 换成 $\bar y$。
- 读反射：圆心到该点的距离对应 $|\Gamma|$，角度对应 $\angle\Gamma$。
- 沿线移动：按向源/向负载方向沿等 $|\Gamma|$ 圆旋转，外圈刻度读的是 $l/\lambda$。
- 读目标点：得到新的 $\bar z$ 或 $\bar y$，再反归一化。
- 反解线长：先标负载点和输入点，量同一等 $|\Gamma|$ 圆上的弧长，并补上 $\lambda/2$ 周期。
- 波节反推：先由 $\rho$ 定 $|\Gamma|$，再由第一波节位置定相位，最后把 $\Gamma_L$ 换回 $Z_L$。
对应题解见 第二次作业 · Lec07。
Mini 自检§
Q1：Smith 圆图的圆心代表什么？
答：$\Gamma=0$，对应归一化阻抗 $\bar z=1$，即匹配点。在圆心处反射系数模为零，没有反射波；沿线移动也无效果（在原地不动）。
Q2：为什么沿无耗线移动时是在等 $|\Gamma|$ 圆上转？
答：无耗线满足 $\Gamma(z)=\Gamma_L e^{-j2\beta z}$。模 $|\Gamma|$ 与 $z$ 无关，只有相位 $\angle\Gamma$ 随 $z$ 线性变化。所以参考面移动只改变相位、不改变模，圆图上自然落在 $|\Gamma|=\text{const}$ 的同心圆上。
Q3：$\lambda/4$ 在圆图上对应转多少？
答：相位变化 $2\beta\cdot(\lambda/4)=2\cdot(2\pi/\lambda)\cdot(\lambda/4)=\pi$，即半圈（180°）。这就是为什么 $\lambda/4$ 段能把开路 $\Gamma=+1$ 翻转到短路 $\Gamma=-1$。
Q4：并联支节匹配为什么常切到导纳图？
答：并联结点上电压相同、电流相加，所以导纳直接相加 $Y_{\mathrm{tot}}=Y_{\mathrm{line}}+Y_{\mathrm{stub}}$。如果用阻抗就要写并联倒数和，公式会复杂。导纳图上读 $g$、$b$ 直接对应支节设计的 $g=1$ 圆与待消去的电纳。
Q5：给 $Z_L=(100+j75)\,\Omega$、$Z_c=50\,\Omega$，圆图上应找哪两条线的交点？
答：先归一化得 $\bar z_L=2+j1.5$，所以在阻抗圆图上找 $r=2$ 的等电阻圆和 $x=+1.5$ 的等电抗弧。由于虚部为正，应在上半圆找对应电抗弧。
Q6：向源走 $0.2\lambda$ 时，$\Gamma$ 的相位转过多少？
答：转过 $2\beta l=4\pi(l/\lambda)=0.8\pi$，即 $144^\circ$。不要把 $\beta l=0.4\pi$ 误当成圆图上反射系数的转角。
Q7：已知 $Z_L$ 和某点 $Z_{\mathrm{in}}$ 反求线长时，为什么要检查两点是否在同一个等 $|\Gamma|$ 圆上？
答：无耗线沿线移动只改变 $\Gamma$ 的相位，不改变 $|\Gamma|$。如果两个点半径不同，它们不可能由同一段无耗均匀线的参考面移动直接对应，除非数据有舍入或你归一化、描点算错。
Q8：由 $\rho$ 和第一电压最小点位置反推负载，为什么不能只用 $\rho$？
答：$\rho$ 只能给出 $|\Gamma|$，也就是圆图上的半径；负载阻抗还需要 $\Gamma_L$ 的角度。第一波节位置提供相位信息，按 $\Gamma_L=-|\Gamma|e^{j2\beta z_{\min}}$ 才能把负载点定下来。
上一讲：Lec06 · 下一讲：Lec08-Lec09。