04 · 可传输模的判定与枚举§
本节你要能回答什么§
- 给定 $a,b$ 与 $\lambda_0$（或 $f$），判定某 $\mathrm{TE}_{mn}$/$\mathrm{TM}_{mn}$ 是否导行的充要条件？
- 「可能存在几种波型」时，如何避免漏模、重复？
- 大截面波导（如 $72.14\times 34.04\,\mathrm{mm}^2$）题目中 枚举 如何截断？
零基础读前翻译§
枚举可传输模不是靠经验猜，而是做一张表。每一行写一个候选模，算出它的 $\lambda_{\mathrm c}$，再和工作波长 $\lambda_0$ 比较。
空气中最常用的判断只有一句：
$$ \lambda_0<\lambda_{\mathrm c,mn} \quad\Rightarrow\quad 该模可导行。 $$
零基础最容易漏的是 TM 模和 $\mathrm{TE}_{01}$。建议先分两栏列 TE、TM：TE 允许 $m$ 或 $n$ 为 0，但不能同时为 0；TM 通常从 $m,n\ge 1$ 开始。
直觉：逐个比 $\lambda_0$ 与 $\lambda_{\mathrm c}$§
导行当且仅当
$$ \lambda_0<\lambda_{\mathrm c,mn} \quad\text{（空气、无耗、$\beta$ 实数）}. $$
更稳的做法是先在草稿纸上画三列：模名、$\lambda_{\mathrm c}$、是否大于工作 $\lambda_0$。凡是 $\lambda_{\mathrm c}$ 比 $\lambda_0$ 大的，就被工作频率“打开”；反过来就截止。
同一题目中 $\mathrm{TE}_{11}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 若 $k_{\mathrm c}$ 相同，算作 两种波型（族别不同），与 01 简并概念区分答题口径 —— 以教师/作业要求为准；本课程解答中第 4 题将二者计为 两种。
枚举题最怕“凭感觉漏模”。按图中的四步把 TE 与 TM 分开列，再统一比较 $\lambda_{\mathrm c}$ 和 $\lambda_0$，就能把“几种波型”这种题变成一张可检查的表。
判定流程（建议）§
- 列出候选 $(m,n)$：$\mathrm{TE}$ 从低阶到高阶系统列出；$\mathrm{TM}$ 从 $m,n\ge 1$ 起。
- 计算或查表各 $\lambda_{\mathrm c}=2\pi/k_{\mathrm c}$（单位统一）。
- 所有满足 $\lambda_{\mathrm c}>\lambda_0$ 的模即为「可能存在」的导行模。
- 若尺寸很大、模很多：在计算机或表格中 按 $k_{\mathrm c}$ 递增枚举 至 $\lambda_{\mathrm c}\le\lambda_0$ 为止（与解答选做「截断枚举」一致）。
如果给的是频率而不是 $\lambda_0$，先换成 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 再比较 $k>k_{\mathrm c}$，可以少掉很多波长口径混淆。
深入理解：枚举不是背模名，而是在截断二维格点§
矩形波导的候选模可以想成 $(m,n)$ 平面上的格点。每个合法格点对应一个横向本征值：
$$ \left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2 $$
越小，截止越低，越容易被工作频率打开。枚举题的本质就是在这张格点图上圈出所有满足导行条件的点。
用波数写，空气中导行条件是
$$ \left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2<k^2. $$
这相当于在 $(m,n)$ 平面上画一个椭圆范围：落在范围内的合法 TE/TM 格点可导行，范围外截止。TE 和 TM 的格点规则不同，所以必须分栏；同一个 $(m,n)$ 若同时有 TE 和 TM 合法，也要按族别分别计数。
实际手算不需要真的画完整椭圆，但要有截断意识。先列低阶项，按 $k_{\mathrm c}$ 从小到大比较；一旦某个方向继续增大下标后已经必然超过工作 $k$，就可以停止该方向。大截面题若模很多，用表格或脚本枚举更稳，但报告里仍要写清合法性、判据和截断规则。
跟读检查：看到 $\lambda_0=18\,\mathrm{mm}$ 这类题，不要只凭“常见有 $\mathrm{TE}_{10}$、$\mathrm{TE}_{20}$”作答。先把 $\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}$、$\mathrm{TM}_{11}$ 放进表，再由 $\lambda_{\mathrm c}>\lambda_0$ 决定是否计入。
草稿纸上怎么枚举可传输模§
枚举题在草稿纸上固定三列，逐行填，不要跳模：
| 模名 | $\lambda_{\mathrm c}$（或 $f_{\mathrm c}$） | 可传？ |
|---|---|---|
| $\mathrm{TE}_{10}$ | … | $\lambda_{\mathrm c}>\lambda_0$ 则 ✓ |
| $\mathrm{TE}_{20}$ | … | 同上 |
| … | … | … |
操作顺序：
- 先合法性：TM 从 $m,n\ge1$ 起；TE 从 $(0,1),(1,0)$ 等合法低阶项起。
- 再算门槛：同一 $a,b$ 下，$\lambda_{\mathrm c}$ 只跟 $(m,n)$ 变，不跟工作频率变。
- 比较：空气中可传 $\Leftrightarrow$ $\lambda_{\mathrm c}>\lambda_0$（等价 $f>f_{\mathrm c}$）。方向写反会把截止模算成可传。
- 截断：按 $k_{\mathrm c}$ 从小到大试；某方向继续增大下标后必然超过工作 $k$，可停止该方向。
- 计数：TE 与 TM 分栏；简并模各算一种波型，不合并。
大截面题模很多时，表格或脚本都可，但报告里必须写清判据和截断规则，不能只给个数。
特例速记（BJ-100，$\lambda_0=18\,\mathrm{mm}$）§
$\lambda_{\mathrm c}$（mm）约：$\mathrm{TE}_{10}\ 45.72$，$\mathrm{TE}_{20}\ 22.86$，$\mathrm{TE}_{01}\ 20.32$，$\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}\ 18.57$。均 $>18$，故 5 种（解答口径）。更高次模 $\lambda_{\mathrm c}<18$ 不导行。
串讲算例{#enum-example}§
题面：$a=8\,\mathrm{cm}$，$b=4\,\mathrm{cm}$，$f=3\,\mathrm{GHz}$ → $\lambda_0=10\,\mathrm{cm}$。问可传哪些模？
| 模 | $\lambda_{\mathrm c}$ | 可传？ |
|---|---|---|
| $\mathrm{TE}_{10}$ | $2a=16\,\mathrm{cm}$ | ✓（$10<16$） |
| $\mathrm{TE}_{20}$ | $a=8\,\mathrm{cm}$ | ✗ |
| $\mathrm{TE}_{01}$ | $2b=8\,\mathrm{cm}$ | ✗ |
结论：仅 $\mathrm{TE}_{10}$ 导行。同型：Lec13-16 · 第 1 题。
与截止、色散、模式指标的挂钩§
$\lambda_0$ 越短（$f$ 越高），越容易同时满足多个模的导行条件 —— 多模。
易错点§
- 漏掉 $\mathrm{TM}$ 或漏掉 $\mathrm{TE}_{01}$ 等低次组合。
- 把 $\lambda_{\mathrm c}=\lambda_0$ 当成可导行（边界上 $\beta=0$，一般不算远距离导行）。
- 只枚举 TE，不说明 TM 的指标约束，导致“波型个数”少算。
逐题反查闭环§
本页已按 第三次作业 Lec13-Lec16 第 4、6、10 题 反查：枚举时先分 TE/TM 两栏，剔除非法下标，再逐个比较 $\lambda_0$ 与 $\lambda_{\mathrm c}$ 或 $f$ 与 $f_{\mathrm c}$。本课程第 4 题把同截止的 $\mathrm{TE}_{11}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 计为两种可传波型。
BJ-100、$\lambda_0=18\,\mathrm{mm}$ 的作业核对结果中，$\lambda_{\mathrm c,11}\approx18.57\,\mathrm{mm}$，因此 $\mathrm{TE}_{11}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 都可传。枚举结果必须和“主模”概念分开：主模只说明最先导行，不说明只有一个模。
作业怎么答§
枚举题建议把答案写成可检查的表，而不是口头列几个模：
- 先统一单位，把工作频率换成 $\lambda_0$，或把工作波长换成 $k$，不要混用。
- 分 TE、TM 两栏列候选：TE 剔除 $\mathrm{TE}_{00}$，TM 从 $m,n\ge1$ 起。
- 逐个计算 $\lambda_{\mathrm c}$ 或 $f_{\mathrm c}$，按门槛从低到高排序。
- 用 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$ 或 $f>f_{\mathrm c}$ 判断导行。
- 最后按作业口径计数：同截止但族别不同的 $\mathrm{TE}_{11}$、$\mathrm{TM}_{11}$ 要分开写。
大截面或多模题不用硬背所有结果，关键是说明截断规则：继续枚举到后续模已经不满足导行条件为止。
卡点急救§
| 卡点 | 可能原因 | 修正动作 |
|---|---|---|
| 少算一个或多个模 | 只凭常见低阶模记忆 | 分 TE/TM 两栏系统列候选，再统一比较截止 |
| 把 $\lambda_0>\lambda_{\mathrm c}$ 写成可传 | 波长判据方向反了 | 空气中导行是 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$；频率写法是 $f>f_{\mathrm c}$ |
| 边界点 $\lambda_0=\lambda_{\mathrm c}$ 算作稳定导行 | 忘了此时 $\beta=0$ | 一般远距离传播按严格超过截止处理，边界点不当作正常导行 |
| 主模题和枚举题结论冲突 | 把“最先能传”误读为“只有它能传” | 主模只说明最低截止；可传个数还要看工作点 |
Mini 自检题§
Q1：$\lambda_0$ 从短变长，可传输模个数一般增加还是减少？
答：一般减少。空气中导行条件是 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$；当 $\lambda_0$ 变长时，满足这个不等式的模会变少。等价地说，频率降低后能打开的模更少。
Q2：为什么枚举时要先分 TE 和 TM 两栏？
答：因为 TE 和 TM 的下标合法性不同，且同一组 $(m,n)$ 可能对应两个不同族别。分栏可以先剔除非法 TM 模，也能避免把 $\mathrm{TE}_{11}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 这类同截止但不同族别的波型漏算。
Q3：若某模的 $\lambda_{\mathrm c}$ 正好等于 $\lambda_0$，通常能否算作正常可传输模？
答：通常不算作远距离正常导行。此时处在截止边界，$\beta=0$，没有正常传播模所需的轴向相位推进；工程计算和作业枚举一般按严格满足 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$ 才计入导行模。
相关链接§
- 上一节：03-λg相速群速与工程算例.md
- 下一节：05-波导段反射驻波与匹配衔接.md
- 作业第 3～6、10 题：第三次作业解答 · Lec13–Lec16