03 · $\lambda_{\mathrm g}$、相速、群速与工程算例§

本节你要能回答什么§

1. $\mathrm{TE}_{10}$ 下，$\lambda_{\mathrm g}$、$v_{\mathrm p}$、$v_{\mathrm g}$ 与 $\lambda_0$、$f_{\mathrm c,10}$、$f$ 的常见关系式？
2. 为何验算时常用 $v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2$（无耗空气）？
3. BJ-100（WR-90） 的典型尺寸与 $10\,\mathrm{GHz}$ 单模结论是什么？

零基础读前翻译§

这一讲是在单模 $\mathrm{TE}_{10}$ 已经确认后，计算“它沿波导轴向怎么跑”。先不要把 $\lambda_0$、$\lambda_{\mathrm g}$、$v_{\mathrm p}$、$v_{\mathrm g}$ 混成一组数字：

• $\lambda_0$ 来自工作频率，是自由空间波长。
• $\lambda_{\mathrm g}$ 来自 $\beta$，是波导轴向相位周期。
• $v_{\mathrm p}$ 看等相位点，可能大于 $c$。
• $v_{\mathrm g}$ 看波包和能量，理想空气波导中小于 $c$。

做数值题时建议先判单模，再算 $\lambda_{\mathrm g}$，最后用 $v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2$ 做量纲和数值验算。

直觉：主模导行后，轴向「相位节奏」与能量速度分开§

• $\lambda_{\mathrm g}$：沿 $z$ 相位走 $2\pi$ 的距离，$\lambda_{\mathrm g}=2\pi/\beta$。
• $v_{\mathrm p}=\omega/\beta$，$v_{\mathrm g}=\mathrm d\omega/\mathrm d\beta$；窄带能量传播看 $v_{\mathrm g}$。

做工程题时先问一句：题目要的是“自由空间/介质中波长”，还是“波导轴向电长度”。只要涉及波导段长度、波节间距、螺钉位置，优先用 $\lambda_{\mathrm g}$。

图中 $\lambda_{\mathrm g}$ 画得比 $\lambda_0$ 长，是为了提醒你：波导里沿轴向相位走得更慢。相速 $v_{\mathrm p}$ 和群速 $v_{\mathrm g}$ 不是同一个量，作业里算能量传播或脉冲传播时优先看 $v_{\mathrm g}$。

公式（空气、无耗、单模 $\mathrm{TE}_{10}$）§

记 $f_{\mathrm c,10}=c/(2a)$，$\lambda_{\mathrm c,10}=2a$。导行时：

$$ \lambda_{\mathrm g}=\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(\lambda_0/\lambda_{\mathrm c,10})^2}} =\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(\lambda_0/(2a))^2}}. $$

$$ v_{\mathrm p}=\frac{c}{\sqrt{1-(f_{\mathrm c,10}/f)^2}},\qquad v_{\mathrm g}=c\sqrt{1-(f_{\mathrm c,10}/f)^2}. $$

验算：$v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2$（无耗、空气、材料无频散前提下；介质中用 $u^2=1/(\mu\varepsilon)$）。

串讲算例：$23\times10\,\mathrm{mm}$ 铜波导、$10\,\mathrm{GHz}$ $\mathrm{TE}_{10}$ — 先算 $\lambda_{\mathrm c}=4.6\,\mathrm{cm}$，再求 $\lambda_{\mathrm g}$、$v_{\mathrm p}$、$v_{\mathrm g}$、$Z_{\mathrm{TE}}$、$P_{\mathrm{br}}$、$\alpha$ 与传输损耗 $P_L$。步骤与 Lec13-16 · 第 2 题 同型。

工程算例（与作业第 2 题一致）§

BJ-100 / WR-90：$a=22.86\,\mathrm{mm},\ b=10.16\,\mathrm{mm}$。
$f=10\,\mathrm{GHz}$ 时 $\lambda_0\approx 29.98\,\mathrm{mm}$；$\lambda_{\mathrm c,10}=45.72\,\mathrm{mm}>\lambda_0$，且 $\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}$/$\mathrm{TM}_{11}$ 均截止于更高 $k_{\mathrm c}$，故 单模 $\mathrm{TE}_{10}$。

数值：$\lambda_{\mathrm g}\approx 39.7\,\mathrm{mm}$，$v_{\mathrm p}\approx 3.97\times 10^8\,\mathrm{m/s}$，$v_{\mathrm g}\approx 2.26\times 10^8\,\mathrm{m/s}$（见 标准解答）。

深入理解：算例里先判区间，再套主模公式§

本页公式都带着隐含前提：空气、无耗、材料无频散，并且已经确认讨论的是单模 $\mathrm{TE}_{10}$。如果这个前提没写清，$\lambda_{\mathrm g}$、$v_{\mathrm p}$、$v_{\mathrm g}$ 的数值即使算对，也可能用在了错误的模式上。

主模公式来自

$$ \beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c,10}^2}, \qquad k_{\mathrm c,10}=\frac{\pi}{a}. $$

把 $k=2\pi/\lambda_0$ 代进去，才得到

$$ \lambda_{\mathrm g}= \frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(\lambda_0/2a)^2}}. $$

所以根号里真正检查的是“离截止有多远”。$\lambda_0$ 越接近 $2a$，根号越小，$\lambda_{\mathrm g}$ 越大；若 $\lambda_0\ge 2a$，这个公式就不能继续当作传播模导波波长使用。

速度公式也同理。相速大于 $c$ 不是算错，而是等相位点沿轴向移动的速度；群速小于 $c$ 才更接近窄带能量传播速度。无耗空气下

$$ v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2 $$

是很实用的验算：如果两个速度都大于 $c$，或者乘积明显不对，通常是把公式互换、单位换错，或把截止频率代错了。

跟读 BJ-100 例子：$10\,\mathrm{GHz}$ 时先确认 $\lambda_0<2a$，再确认高次模仍截止，最后才计算 $\lambda_{\mathrm g}\approx39.7\,\mathrm{mm}$。这三个步骤不能压缩成“WR-90 在 10 GHz 用 TE10 公式”一句话。

草稿纸上怎么算 $\lambda_{\mathrm g}$ 与速度§

数值题在草稿纸左上角先写前提框：空气、无耗、单模 $\mathrm{TE}_{10}$。然后按固定顺序：

1. 写尺寸与频率：$a,b$，$f$ → $\lambda_0=c/f$。
2. 复判单模：$\lambda_0<2a$？高次模是否仍截止？不满足则停止，不写 $\lambda_{\mathrm g}$。
3. 算 $\lambda_{\mathrm g}$： $$\lambda_{\mathrm g}=\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(\lambda_0/2a)^2}}.$$ 根号里 $(\lambda_0/2a)^2\ge1$ 说明已截止或公式不适用。
4. 算速度：$v_{\mathrm p}=c/\sqrt{1-(f_{\mathrm c,10}/f)^2}$，$v_{\mathrm g}=c^2/v_{\mathrm p}$（无耗空气主模）。
5. 验算：$v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}\approx c^2$；$\lambda_{\mathrm g}>\lambda_0$；近截止时 $\lambda_{\mathrm g}$ 应变大。

波节间距、螺钉电长度若在本题出现，一律用第 3 步的 $\lambda_{\mathrm g}$，不要用 $\lambda_0$ 代。

与截止、色散、模式指标的挂钩§

近截止时 $\beta\to 0$，$\lambda_{\mathrm g}\to\infty$，$v_{\mathrm p}$ 在理想模型下可趋于很大 —— 与 Lec11-Lec12 一致。

易错点§

1. 用自由空间 $\lambda_0$ 代替 $\lambda_{\mathrm g}$ 算波导段上的电长度。
2. $f_{\mathrm c}$ 用错模（例如用了 $\mathrm{TE}_{20}$ 的截止频率代入主模公式）。

逐题反查闭环§

本页已按 第三次作业 Lec13-Lec16 第 2、5、8 题 反查：算 $\lambda_{\mathrm g}$ 前必须先确认工作在主模且 $f>f_{\mathrm c}$。BJ-100 在 $\lambda_0=30\,\mathrm{mm}$ 时，作业核对结果为 $\lambda_{\mathrm g}\approx39.75\,\mathrm{mm}$；在第 8 题条件下反推出 $\lambda_{\mathrm g}\approx44.80\,\mathrm{mm}$。

相速和群速的合理性检查是：导波中 $v_p$ 可大于 $c$，但 $v_g<c$，并且频率越接近截止，$\lambda_{\mathrm g}$ 越大、$v_g$ 越小。若算出截止以下仍有实数 $\lambda_{\mathrm g}$，说明前置判断已经错了。

作业怎么答§

导波波长、相速、群速数值题按下面顺序写最稳：

1. 先确认模式和工作区：通常先判 $\mathrm{TE}_{10}$ 是否导行，是否仍为单模。
2. 写 $\lambda_{\mathrm c,10}=2a$ 或 $f_{\mathrm c,10}=c/(2a)$，并检查 $f>f_{\mathrm c,10}$。
3. 由 $\lambda_{\mathrm g}=\lambda_0/\sqrt{1-(\lambda_0/\lambda_{\mathrm c,10})^2}$ 或等价频率式计算导波波长。
4. 再算 $v_{\mathrm p}$、$v_{\mathrm g}$，并用 $v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2$ 做无耗空气口径下的验算。
5. 最后做合理性判断：$\lambda_{\mathrm g}>\lambda_0$、$v_{\mathrm p}>c$、$v_{\mathrm g}<c$，接近截止时变化更明显。

如果题目给的是波节间距或匹配位置，应先反推 $\lambda_{\mathrm g}$，再回到这些公式。

卡点急救§

Mini 自检题§

Q1：$f$ 升高（仍单模 $\mathrm{TE}_{10}$）时，$v_{\mathrm g}$ 一般增大还是减小？

答：一般增大。无耗空气中

$$ v_{\mathrm g}=c\sqrt{1-\left(\frac{f_{\mathrm c,10}}{f}\right)^2}. $$

当 $f$ 升高且仍处于单模 $\mathrm{TE}_{10}$ 区间时，$f_{\mathrm c,10}/f$ 变小，根号内变大，所以 $v_{\mathrm g}$ 增大并趋近 $c$。

Q2：为什么近截止时 $\lambda_{\mathrm g}$ 会变得很大？

答：近截止时 $f$ 接近 $f_{\mathrm c}$，轴向相位常数 $\beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2}$ 接近 0。由于 $\lambda_{\mathrm g}=2\pi/\beta$，$\beta$ 越小，导波波长越大。

Q3：无耗空气波导中，若算得 $v_{\mathrm p}=4.0\times10^8\,\mathrm{m/s}$，群速大约应小于还是大于 $c$？

答：应小于 $c$。无耗空气口径下 $v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2$，相速大于 $c$ 时，群速必然小于 $c$。这也可作为数值验算。

相关链接§

• 上一节：02-单模工作区与全介质填充.md
• 下一节：04-可传输模的判定与枚举.md
• 作业第 2 题：第三次作业解答 · Lec13–Lec16