第三次作业（Lec13–Lec16）第 6 题：BJ-100，若干模的 $\lambda_{\mathrm c}$；只传 $\mathrm{TE}_{10}$ 的 $\lambda_0$ 范围§
对应知识点：02-单模工作区与介质填充
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严格只传 $\mathrm{TE}_{10}$ 的不等式组与 $\max\{a,2b,\lambda_{\mathrm c,11},\ldots\}$ 见 第1题。
一、前置知识§
1. 专有名词§
- $\lambda_{\mathrm c,mn}$：由 $k_\mathrm c$ 得 $\lambda_\mathrm c=2\pi/k_\mathrm c$，用于与 $\lambda_0$ 比长短。
- 只传 $\mathrm{TE}_{10}$：需同时满足：① $\lambda_0 < \lambda_{\mathrm c,10}=2a$（主模导行）；② 所列竞争模不导行（作业常写 $\lambda_0 \ge \lambda_{\mathrm c,mn}$，端点依课程约定）。下界是 $\max\{$ 各竞争模的 $\lambda_\mathrm c\}$ 与 $\lambda_{\mathrm c,10}$ 的联立结果。
- 单模工作波长窗（空气）：$\max\{\cdots\} \le \lambda_0 < 2a$（开闭在 $a,2a$ 处依约定）。BJ-100 有 $2b=20.32\,\mathrm{mm} < a=22.86\,\mathrm{mm}$，故 $\lambda_{\mathrm c,01}=2b < \lambda_{\mathrm c,20}=a$；在比较下界时 $\max\{a,2b,\lambda_{\mathrm c,11}\}$ 对典型比例常取 $a$（须代入验证，见 第1题）。
2. 核心公式§
- $\lambda_\mathrm c=2\pi/k_\mathrm c$ 与 主册 中 $k_\mathrm c$。
- $\lambda_{\mathrm c,20}=a$、$\lambda_{\mathrm c,01}=2b$、$\lambda_{\mathrm c,11}=2\big/\sqrt{1/a^2+1/b^2}$ — 与第1、4题一致。
二、分析思路§
- 列 BJ-100 的 $a,b$，由公式算题表所列各模的 $\lambda_\mathrm c$。
- 只传 $\mathrm{TE}_{10}$：上界由 $\lambda_{\mathrm c,10}=2a$；下界为 $\max$ 中在 $\lambda_0<2a$ 内需要满足的最严下界。
- 对 BJ-100，核对 $\lambda_{\mathrm c,20}=a$ 与 $2b$、$\lambda_{\mathrm c,11}$，通常 $\max=a$ 即给出 $\lambda_0 > a$ 一侧（与 $\lambda_0<2a$ 合并）。
- 在 $a < \lambda_0 < 2a$ 内再确认 $\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}$ 等已不导行。
三、标准解答§
BJ-100：$a=22.86\,\mathrm{mm}$，$b=10.16\,\mathrm{mm}$。$\lambda_\mathrm c$（mm，四舍五入）：
| 模 | $\lambda_\mathrm c$ |
|---|---|
| $\mathrm{TE}_{10}$ | 45.72 |
| $\mathrm{TE}_{20}$ | 22.86 |
| $\mathrm{TE}_{01}$ | 20.32 |
| $\mathrm{TM}_{11}/\mathrm{TE}_{11}$ | 18.57 |
| $\mathrm{TE}_{30}$ | 15.24 |
| $\mathrm{TE}_{21}$ | 15.19 |
| $\mathrm{TE}_{31}$ | 12.19 |
| $\mathrm{TE}_{41}$ | 9.96 |
只传输 $\mathrm{TE}_{10}$：$\lambda_0 < \lambda_{\mathrm c,10}$ 且对 $\mathrm{TE}_{20}$、$\mathrm{TE}_{01}$、$\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}$ 等至少有 $\lambda_0 \ge \lambda_\mathrm c$（不导行）。在 BJ-100 上，下界由 $\lambda_{\mathrm c,20}=a$ 与 $\max\{a,2b,\lambda_{\mathrm c,11}\}=a$ 给出，故
$$ \boxed{22.86\,\mathrm{mm} < \lambda_0 < 45.72\,\mathrm{mm}} $$
说明：开区间端点以课程要求为准；在 $(a,\,2a)$ 内已保证 $\lambda_0>2b$、$\lambda_0>\lambda_{\mathrm c,11}$ 等，$\mathrm{TE}_{30}$ 等因 $\lambda_\mathrm c$ 更短也不导行（见表）。
图示§
图：阴影为 $\lambda_0$ 需同时满足「主模可导行」与「所列举竞争模不导行」的区间，端点开闭依课程。
四、与主册/他题衔接§
- 第11题 对「口语宽区间」与严格单模窗的辨析，以本节区间为准。