MPM — 让粒子背着自己的历史，借网格算一遍力

待复核

是什么

Material Point Method（MPM）是一种把材料拆成一群粒子 + 一张临时网格两套表达的仿真方法。粒子负责”我是谁”（质量、速度、应力、变形历史），网格负责”我怎么动”（解牛顿第二定律）。每一步把粒子状态摊到网格上算一遍力，再把结果抄回粒子，网格就扔掉重铺。

日常类比：一群蚂蚁（粒子）背着各自的小本子（应力/历史）在地上爬。每过一刻，地面临时铺一张方格纸（网格），蚂蚁把速度抄到最近格子上，纸上算一遍 F=ma 得到新速度，蚂蚁再抄回小本子，纸撕掉。下一刻重新铺一张干净的。

这套”粒子记历史 + 网格算力学”的混合表达，是后来雪、沙、泥、果冻、橡皮泥这些大变形材料能在电影里飞起来的根本原因。

为什么重要

不理解 MPM，下面这些事都没法解释：

为什么 Disney《冰雪奇缘》(2013) 的雪会一坨坨堆起来又被踩散——纯欧拉网格跟不住塑性历史，拉格朗日有限元网格会被踩扭爆
为什么 Houdini 里 FLIP / Vellum 很常见，而雪沙泥这类大变形也常走 MPM（原生或插件管线）
为什么 Taichi / DiffTaichi 能让本科生在一个周末跑出一段橡皮泥仿真——MLS-MPM 把这套搬进了几百行 Python
为什么岩土工程里算边坡滑塌、混凝土破坏，用的也是同一套数学

一句话：MPM 是”拉格朗日网格易扭爆、欧拉网格难跟材料历史”这个老问题的混合解。

核心要点

MPM 的一个时间步可以拆成 四步循环：

P2G（particle to grid）：每个粒子把自己的质量、动量按形函数（决定”影响周围哪几个格子”的权重表）撒到邻居网格点。类比：蚂蚁把”我有多重、往哪走”抄到最近几张格子上。
网格上解动量方程：在网格点上算力（弹性力 / 重力 / 接触力）→ 加速度 → 速度更新。这一步形式上和有限元几乎一模一样。
G2P（grid to particle）：把网格点更新后的速度插回粒子，更新位置和变形梯度 F（一个 3×3 矩阵小本子，记这块材料被拉/压/剪了多少）。
扔网格：背景网格用完即弃，下一步重新铺一张干净的。只有粒子持久，所以网格根本没机会扭成麻花。

实践案例

案例 1：一粒雪的四步循环

# 伪代码：一个时间步（2D，线性形函数 → 4 邻居）
P2G:  for p in particles:
          for i in neighbors(p):  # 最多 4 个格点
              grid.m[i] += w * p.m
              grid.mv[i] += w * p.m * p.v
Grid: for i in active_nodes:
          grid.v[i] = grid.mv[i] / grid.m[i] + dt * (f_elastic + g) / grid.m[i]
G2P:  for p in particles:
          p.v = sum_i w * grid.v[i]
          p.F = (I + dt * grad_v) @ p.F   # 更新变形历史
          p.x += dt * p.v
Discard grid; rebuild empty next step

逐部分解释：p.F 就是粒子小本子上的变形记录；网格只借一步算力就扔。踩、推、铲、撒时连通性怎么变都行——网格不跟物体走。

案例 2：同一坨材料，纯网格 vs MPM

纯欧拉网格:  格点固定 → 拓扑变化容易，但"我被压实过"跟不住（格点不属于哪块雪）
纯拉格朗日FEM: 本构成熟 → 脚踩进雪、碎裂时网格连通性一变就扭爆
MPM:          粒子带塑性历史；网格一步一扔 → 两边好处缝起来

逐部分解释：Disney（Stomakhin et al, SIGGRAPH 2013）选 MPM，就是因为雪要同时记住”压实到 0.7 倍体积”又要允许碎裂。弹塑性本构（材料怎么弹回去、怎么永久变形）写在粒子上，不写在会扭爆的网格上。

案例 3：MLS-MPM 一个粒子的 P2G/G2P

# 伪代码：Hu 2018 MLS-MPM 风格（极简）
for p in particles:
    for offset in neighbors_3x3:
        grid_v[base+offset] += w * (p.m * p.v + affine @ dpos)  # P2G
# 网格上：v += dt * f / m；再 G2P 回写 p.v、p.x、p.C

逐部分解释：affine / C 是局部速度场的线性近似，用来少耗散、少噪声。几百行 Python 就能跑果冻——这是 1994 论文留给 2026 本科生的礼物。DiffMPM / ChainQueen 再把整步写成可微张量，就能反推材料参数。

关键事实

粒子持久、网格临时——区别于纯有限元（网格随物体）和纯 Eulerian（网格固定、物质流过）
变形梯度 F——粒子上的 3×3 矩阵；本构从 F 算应力
形函数——线性 / quadratic / cubic B-spline，邻居数约 8 / 27 / 64（3D）
PIC / FLIP / APIC——三种 G2P：耗散大 / 噪声大 / 两者兼修

踩过的坑

PIC vs FLIP：原始 PIC 直接覆盖粒子速度，果冻像泥；FLIP 只传增量，能量保住但像在沸腾。APIC（Jiang 2015）两边都修了。
Cell-crossing 抖动：粒子穿网格线时线性形函数让力跳变——改用 quadratic / cubic B-spline（邻居变多）。
不天然守恒：动量/能量不严格守恒，长跑要防漂移（Affine / Hamiltonian MPM 等在改进）。
CFL 仍要守：粗略 dt < dx / c（c 为波速）；每格至少 2×2×2 粒子，太稀会”空格”。

适用 vs 不适用场景

适用：

大变形固体——雪、沙、泥、橡皮泥、布丁；弹塑性/粘塑性/相变
接触、自接触、碎裂等拓扑变化；工程边坡、冲击、混凝土破坏
离线电影特效；示意级实时可用粗网格（精细 60fps 通常不够）

不适用：

单纯流体/烟雾——Stable Fluids 或 FLIP 流体更轻
极薄壳、布料、绳索——各向异性太强，网格分辨率浪费
严格守恒或实时精细交互——优先有限元隐式，或别的专用解算器

历史小故事（可跳过）

1955：Harlow 在 Los Alamos 发明 PIC，给等离子体和流体用
1986：Brackbill 提出 FLIP，PIC 的能量友好版
1994：Sulsky / Chen / Schreyer 把 PIC/FLIP 改造成带应力与变形历史的 Material Point Method
2013：Stomakhin 等做出《冰雪奇缘》的雪，MPM 在图形学爆红
2015–2018：Jiang 提出 APIC；Hu 提出 MLS-MPM + Taichi，门槛降到本科生

学到什么

混合表达比单一表达强：粒子记身份、网格算力学，各自做擅长的事
临时数据结构是被低估的模式：网格”用完即弃”根本性避开扭曲
学科迁移要很久：1994 固体力学 → 2013 Frozen → 2018 可微仿真，好想法跨学科漂流约 20 年
数值方法的工程化：从论文超参到”几行 Python 能跑”是 24 年压缩路径

关联

stam-1999-stable-fluids —— 流体走纯网格 + 半 Lagrangian；MPM 走粒子 + 网格混合
hu-2018-mls-mpm —— 把经典 MPM 重写成可实时示意的现代版本
kajiya-1986-rendering-equation —— 渲染管”光怎么走”，MPM 管”物质怎么动”
disney-brdf-2012 —— Disney 工业 pipeline 另一环；与 Frozen 同期生态
macklin-2014-position-based-fluids —— 另一路粒子流体；对照 MPM 的历史依赖固体侧
monaghan-1992-sph —— SPH 纯粒子无网格，对照 MPM 的”借网格算力”

反向链接

hu-2018-mls-mpm —— MLS-MPM — 把 MPM 重写到”几百行能跑实时”的现代版本
macklin-2016-xpbd —— XPBD — 让 PBD 的软硬程度不再跟帧率绑死