Position Based Fluids — 把水也塞进 PBD 同一套框架

待复核

是什么

Position Based Fluids（PBF） 是把水做成”一堆粒子”的方法。它不像传统流体先算压力再积分，而是直接挪粒子位置让它们满足”密度等于水的密度”这条约束。

日常类比：想象一池子玻璃珠表示水。传统做法（monaghan-1992-sph 风格的 SPH）是给每颗珠子算一个压力推力，让它和邻居互相弹开；PBF 是看一眼”这块珠子挤太密了”，直接把多余的珠子推开一点点，挪完再看下一帧。

挪位置这个套路就是 mueller-2007-pbd 的 PBD 思想——PBF 等于给 PBD 加了一条新约束：“粒子局部密度必须等于 ρ₀”。

为什么重要

游戏要做实时液体一直很难：

走 SPH 路线：压力来自一个刚硬的状态方程，刚度一调高，时间步必须缩到 1/2000 秒，跑不动
走网格法（stam-1999-stable-fluids 那种 Eulerian）：能吃大时间步，但加自由表面、加碰撞复杂度暴涨

PBF 把流体也变成”位置约束”，于是有三个直接收益：

大时间步稳定：dt 可以拉到 16ms（每秒 60 帧），比 WCSPH 大一到两个数量级
统一求解器：和布料、刚体、绳索共享同一套 PBD 主循环，工程上能合并代码
实时百万粒子：原论文 GeForce GTX 680 上百万粒子接近实时

NVIDIA Flex 引擎的水内核就是 PBF；Macklin 后续的 unified particle physics 和 XPBD 都从这里长出来。游戏行业实时液体的事实标准。

核心要点

PBF 一帧的五步循环（在 mueller-2007-pbd 五步上做的扩展）：

预测位置：x* = x + dt · v + dt² · g（重力是唯一外力）
邻域查找：对每个粒子 i，用空间哈希找半径 h 内的所有邻居
Jacobi 迭代解密度约束（PBF 的灵魂）：
- 用 Poly6 核（一种”越近越重”的平滑权重函数 W）估计密度 ρᵢ = Σⱼ mⱼ · W(xᵢ-xⱼ, h)
- 约束 Cᵢ(x) = ρᵢ/ρ₀ - 1 = 0（密度必须等于静止密度 ρ₀）
- 算拉格朗日乘子 λᵢ（可理解为”这一轮该把粒子推开多少”的额度）
- 加人工张力项 s_corr（故意多推一点，防止粒子黏成小团）
- 按邻居梯度修正位置 Δxᵢ，整套循环 4 到 10 次
涡度增强 + XSPH 粘性：把投影耗散掉的旋度能量打回去，再做一遍速度平滑
从位置反推速度：v = (x_new - x_old) / dt

第 3 步是 PBF 区别于 SPH 的核心。SPH 用压力 → 加速度 → 速度 → 位置；PBF 直接”位置 → 位置”。

实践案例

案例 1：密度约束投影伪代码

# 一帧内对每个粒子 i 迭代若干次
rho_i = sum(m_j * W(x_i - x_j, h) for j in neighbors(i))
C_i = rho_i / rho0 - 1
lambda_i = -C_i / (sum_grad_sq(i) + eps)   # 推开额度
dx_i = sum((lambda_i + lambda_j + s_corr) * grad_W(...) for j in neighbors(i))
x_i += dx_i / rho0

逐部分解释：先估密度 → 看偏离 ρ₀ 多少 → 算出 λ → 按邻居方向挪位置。循环 4–10 次，水从”果冻”变硬。对照 SPH：那边是”算压力再积分”，这边是”伸手挪到满足约束”。

案例 2：参数调到能看出”水”

ρ₀：多少粒子算一团水；h：影响半径，邻居宜稳在 30–40
s_corr 的 Δq、k、n：抑聚团，k 过大出现虚假张力
迭代次数：4 次像橡皮泥，10+ 次更像水但仍非完全不可压

再加涡度增强，水从”粥”变成”有漩涡的水”。硬度靠迭代次数，不靠把 dt 砍到 1/2000 秒。

案例 3：统一求解器里的一员

布料用距离/弯曲约束，刚体用形状匹配，流体用密度约束——全部共享 PBD 主循环（预测 → 投影 → 反推速度）。

这是 unified particle physics 的思路：写一套求解器，所有物理对象都是”带不同约束的粒子”。NVIDIA Flex 是工业实现。

工程收益：不用维护四套求解器互相耦合；水碰到布料时，两边在同一轮投影里自然交互。

踩过的坑

表面粒子邻域不足：水面的粒子上方没有邻居，密度估计 ρᵢ 系统性偏低，约束误判为”压缩不够”，把表面粒子向内拉，产生 phantom 表面张力。论文用 ε relaxation 缓解但消不掉
拉伸不稳定（tensile instability）：低密度区粒子容易聚团成小液滴。必须加 s_corr 人工张力压力项（Schechter-Bridson 路线），但 Δq、k、n 是经验调参雷区，不同场景要重调
PBD 投影本身耗散动能：几何修正会无差别地把动能磨掉，漩涡很快被抹平，水显得”黏”。必须显式加 vorticity confinement 把丢掉的旋度能量重新打回去，否则视觉上像粥不像水
邻居数量阈值：每粒子 30 到 40 个邻居才稳。粒子分辨率太低或核半径设错，密度估计抖动甚至发散
Jacobi 迭代刚度上限：迭代再多次也解不到完全不可压——这是 PBD 的根本限制。XPBD 后续才把它形式化为”刚度收敛到无穷大”问题并修复
粒子分辨率 vs 视觉质量：PBF 表面是粒子离散化的，要做出连续水面必须额外跑 marching cubes 或 anisotropic kernel 表面重建。粒子越少越能跑实时，但水看起来越”颗粒感”。100 万粒子是工业 demo 常见档位

适用 vs 不适用场景

适用：

游戏 / VFX 实时液体（水、岩浆、泥浆视觉效果）
与 PBD 布料、刚体、绳索共解的统一框架
大时间步、视觉优先的场景（不在乎物理精度，只在乎”看起来像水”）

不适用：

需要严格物理精度（薄膜流、毛细现象、精确表面张力）→ 用网格法或更精细 SPH
需要无耗散保能量的科学仿真 → PBD 投影本质会耗散动能
高粘度流体（蜂蜜、熔岩黏性主导）→ XSPH 粘性是经验后处理，不是真粘性

历史小故事（可跳过）

2003 年：Müller 等发了《Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications》，把 SPH 引进游戏图形，但还是状态方程压力路线
2007 年：Müller 等发了 mueller-2007-pbd，确立”约束投影代替力积分”的 PBD 路线，初版只做布料和软体
2012 年：Schechter & Bridson 在 Ghost SPH 里提出人工张力压力 s_corr，解决粒子聚团
2013 年：Macklin & Müller 在 SIGGRAPH 上发 PBF，把 SPH 的密度约束塞进 PBD 框架。预印本写 2014，正式会议是 2013
2014 年起：NVIDIA Flex 引擎正式产品化，PBF 成为游戏行业实时液体事实标准
2016 年：Macklin 等发 XPBD，把 PBD 的”迭代次数 = 刚度”这个隐式耦合变成显式的 compliance 参数

学到什么

同一个物理量可以有多条求解路线：流体既可以”算压力 → 积分”（SPH），也可以”投影位置”（PBF）。算法选择决定时间步上限
几何投影是可压缩性的几何视角：不可压不是”压力大”，而是”密度 = ρ₀ 这条流形上的最近点投影”
统一求解器的工程价值：布料、刚体、流体共享 PBD 循环 → 引擎代码减一半，而且不同物理对象自然耦合
耗散是几何法的代价：PBD 投影会无差别地磨掉动能，必须显式补偿（vorticity confinement、XPBD compliance）。这是几何路线的固有缺陷
工业落地需要算法 + 工程双轮：PBF 在论文层只是”加一条密度约束”，但能跑成 Flex 引擎，靠的是空间哈希、GPU 并行邻域、表面重建一整套配套工程

关联

mueller-2007-pbd —— PBD 主框架，PBF 是它加密度约束的扩展
monaghan-1992-sph —— SPH 提供核函数 W、密度估计公式，PBF 复用这些组件
stam-1999-stable-fluids —— 另一条流体路线（网格 + 半拉格朗日 advection），与 PBF 互为镜像

一句话总结：PBF 把”流体不可压”从动力学问题翻译成几何投影问题，让水和布料、刚体共享同一套求解器，是游戏行业实时液体的事实标准。

反向链接

macklin-2016-xpbd —— XPBD — 让 PBD 的软硬程度不再跟帧率绑死
muller-2007-pbd —— Position Based Dynamics — 直接修正位置的实时物理
sulsky-1994-mpm —— MPM — 让粒子背着自己的历史，借网格算一遍力