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Jason's Study

Cook-Torrance 1982 — 把镜面反射拆成微面元 × 几何遮挡 × Fresnel

是什么

Cook-Torrance 1982 给屏幕上的”金属和塑料”写了一个有物理依据的反射公式。日常类比：你拿一个抛光铜壶。Phong 1975 只能告诉你”亮处有个白点”，但铜壶的高光是橘黄色，而且侧着看高光会变亮。这两件事 Phong 都解释不了。Cook-Torrance 把高光那一项拆成三个有物理含义的乘子：

f_specular = (D · G · F) / (4 · (N·L) · (N·V))

逐项读：

  • D —— 微面元法线分布：表面其实由无数小镜子组成，D 描述这些小镜子朝向有多集中
  • G —— 几何衰减：相邻小镜子互相挡，G 把被挡住那部分扣掉
  • F —— Fresnel 反射比：光打到表面时多少被反射、多少进入物体，随入射角变化（这就是为什么湖面平视时像镜子，俯视时能看见水底）

N·L、N·V 是常见点乘，分母里的 4 是从立体角换算来的固定系数。

为什么重要

不理解 Cook-Torrance，下面这些事都没法解释：

  • 为什么 Disney/UE/Unity 现在都用 metallic + roughness 两个滑块——这套工作流是 Cook-Torrance 的工业封装
  • 为什么 glTF 2.0 资产格式以 metallic-roughness 为标准——同源
  • 为什么金属高光是金属本身的颜色（金子是黄高光），而塑料高光永远是光源色——Fresnel 项决定
  • 为什么”湖面侧看像镜子、俯看见水底”和”金子在屏幕上看起来像金子”是同一个公式

这是计算机图形学第一个把光学物理搬进 BRDF 的工业级模型。在它之前，Phong 用经验 cos^n 凑高光；之后所有 PBR (Physically Based Rendering) 都长得像 Cook-Torrance。

核心要点

把镜面项拆成 D × G × F 三个正交、可独立替换的物理量：

  1. D — 微面元法线分布 (Beckmann 1963)：原文假设表面由无数小镜子组成，每个小镜子朝某方向。粗糙度 m 是唯一参数，m=0.1 抛光金属，m=0.6 拉丝铜。后续 Walter 2007 用 GGX/Trowbridge-Reitz 替代 Beckmann，长尾更真实，今天 99% 引擎用 GGX。

  2. G — 几何衰减 (Torrance-Sparrow 1967)：小镜子站在一起会互相遮挡和自阴影。原文沿用 V 形槽假设，给出一个 min(…) 公式。Smith 2004 推出更精确的 G2，今天主流。

  3. F — Fresnel 反射比 (1820s)：1820 年 Augustin Fresnel 推导的菲涅尔方程，告诉你光线打到介质边界时多少反射、多少折射。垂直入射时反射比叫 F0，掠射角时反射比 → 1 (这就是镜面湖效果)。Schlick 1994 给出便宜的 5 次方近似 F0 + (1-F0)(1-cosθ)^5，今天实时渲染都用它。

关键洞见：金属和电介质 (dielectric，塑料/玻璃) 在 F0 上根本不同：

  • 电介质：F0 ≈ 0.04，单通道，无颜色（塑料、皮革、陶瓷、水）
  • 金属：F0 是 RGB 三通道颜色（金子 0.95黄、铜 0.95橙、银 0.97灰）

这一刀切让美术工作流变成”选金属 or 非金属，选粗糙度”——这就是今天 metallic-roughness 工作流的物理来源。

实践案例

案例 1：Three.js 里的 Cook-Torrance 后裔

const material = new THREE.MeshStandardMaterial({
  color: 0xffd700,    // baseColor 基色
  metalness: 1.0,     // 金属度：1 = 金属，0 = 电介质
  roughness: 0.2,     // 粗糙度，对应 D 项的 m
});

metalness=1 时 F0 取 color 的 RGB；metalness=0 时 F0 = 0.04 不变。 这两个滑块把 Cook-Torrance 公式参数化了——美术不用懂 D/G/F，调两滑块就够。

案例 2：拆解一个金属像素

铜壶某像素，光从左上来，相机正前看：

F0 = (0.95, 0.64, 0.54)         # 铜的 F0，RGB 三通道，橘黄
roughness m = 0.3
N·L = 0.7, N·V = 0.9, N·H = 0.85, V·H = 0.8


D (Beckmann, m=0.3, N·H=0.85)  ≈ 1.8
G (Torrance-Sparrow)            ≈ 0.78
F (Schlick, V·H=0.8)            ≈ (0.95, 0.65, 0.55)


f_specular = (1.8 · 0.78 · F) / (4 · 0.7 · 0.9)
           ≈ (0.53, 0.36, 0.31)         # 高光本身就带橘黄

注意高光是橘黄色，不是白色——这就是金属看起来像金属的原因。Phong 给金属也只能涂白高光。

案例 3：Fresnel 让侧看变镜子

水面 F0 = 0.02，正视看几乎全透（看见水底鱼）。掠射角 (cosθ → 0) 时 Schlick 给：

F = 0.02 + (1 - 0.02) · (1 - 0.05)^5 ≈ 0.02 + 0.76 ≈ 0.78

反射比从 2% 跳到 78%——这就是为什么远看湖面是镜子。Phong 的 cos^n 完全没这个性质。

踩过的坑

  1. 能量不守恒：D 项必须积分归一化到 1，新人写完发现”越粗糙越亮”——D 公式忘了归一化常数。

  2. G 项掠射角崩溃：原文 V 槽 G 在 N·V → 0 时跳到 0 留黑边，工程上要么 max(0.001, N·V)，要么直接换 Smith G2。

  3. F0 金属/电介质混用：把电介质 F0=0.04 喂给金属，金属变成灰色橡胶；反过来把金黄 F0 给塑料，塑料变带色金属。Disney 用 metalness 滑块在 shader 内部插值绕开这个坑。

  4. Beckmann vs GGX 不可混用：D 选 Beckmann 时 G 也要配 Beckmann 版 Smith，混用能量不守恒。今天默认 GGX + GGX-Smith 整套。

  5. 分母 4(N·L)(N·V) 除零：掠射角一定要 clamp，否则单个像素亮度爆炸破坏 tone mapping。

适用 vs 不适用场景

适用：

  • 实时 PBR (UE/Unity/Three.js MeshStandardMaterial)
  • 离线物理渲染 (Pixar RenderMan / Arnold / Cycles 全部基于 Cook-Torrance 派生)
  • 金属、塑料、陶瓷、油漆——任何不透光的固体
  • 教学：理解所有现代 BRDF 的共同祖先

不适用：

  • 半透明 (玻璃/水透射) → 需要 BSDF 加上透射项
  • 次表面散射 (皮肤、蜡、玉、牛奶) → 需要 BSSRDF
  • 各向异性 (拉丝金属、毛发) → 需要 anisotropic D
  • 薄膜干涉 (肥皂泡彩色) → 需要波动光学，几何光学不够

历史小故事（可跳过）

  • 1820s：Augustin Fresnel 推导菲涅尔反射方程，那是 162 年前
  • 1963：Beckmann 在雷达散射论文里给出微面元法线分布
  • 1967：Torrance & Sparrow 在光学杂志组合出 D × G × F 雏形（光学领域）
  • 1981：Robert Cook 在 SIGGRAPH 把光学界这套搬进图形学
  • 1982-01：ACM TOG 创刊号，Cook-Torrance 占首篇位置
  • 1994：Schlick 给 Fresnel 项 5 次方近似，实时渲染门槛降低
  • 2007：Walter et al 用 GGX 替代 Beckmann，长尾更真
  • 2012：Disney Burley 在 SIGGRAPH 课程发布 Principled BRDF，metallic + roughness 工作流定调
  • 2014 之后：UE4 / Unity Standard / glTF 2.0 都跟进 Disney metallic-roughness

从论文发表到工业普及等了 30 年——硬件、美术、标准都得追上。

学到什么

  1. 物理乘法分解就是好设计：把”金属高光”这个无法直接计算的量拆成 D × G × F，每项独立可换。今天换 D 不影响 G，换 F 不影响 D——这种正交性是 PBR 能演化 30 年的根本。
  2. 经验模型让位给物理模型，画质提升不大但可解释性大幅提升：Phong 美术调到接近 Cook-Torrance 也能看，但 Cook-Torrance 给你一组可以从光谱仪测出来的参数 (F0)，跨场景跨光照都对。
  3. 金属/电介质二分法是 Cook-Torrance 给世界的礼物：metallic 滑块只有 1 个浮点，但背后是 Fresnel 在金属和电介质行为根本不同这件物理事实。
  4. 算法领先时代 30 年不一定是好事：1982 论文太超前，硬件 30 年后才追上，期间靠 Phong/Blinn-Phong 顶着。说明工程落地需要硬件 + 美术 + 标准三者都到位。

延伸阅读

关联

  • phong-1975 —— 经验高光模型，被 Cook-Torrance 在物理基础上替代
  • blinn-1977 —— Blinn 的半角向量 H 是 Cook-Torrance 微面元法线对齐的关键工具
  • 3d-gaussian-splatting —— 现代实时渲染的另一条路，但着色仍是 PBR 思路
  • bidirectional-typing —— 与 Cook-Torrance 无关，仅作命名学示例

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