第 2 题：魔 T 散射矩阵分析§
对应知识点：03 · 常用微波元件 · 魔 T
来源：电子板复习题 6-4-2 / 串讲例题（互易二端口 $\Gamma_1=S_{11}+S_{12}^2\Gamma_2/(1-S_{22}\Gamma_2)$ 同型）
题目：理想魔 T 的散射矩阵为
$$ [S]=\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$
当 端口 4 输入信号、其余端口接匹配负载时，分析各端口输出信号的幅度与相位。
符号约定§
- $a_i$：端口 $i$ 入射波；$b_i$：端口 $i$ 出射/反射波。
- 匹配负载端口无外来入射，$a_i=0$。
- 归一化波幅下，输入端口可取 $a_4=1$（相位参考 0）。
分析思路§
- 写 $\mathbf b=S\mathbf a$，展开四个方程。
- 代入 $a_1=a_2=a_3=0$，$a_4=1$。
- 读出 $b_1\ldots b_4$ 的复数幅度与相位。
标准解答§
散射方程：
$$ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\a_4\end{pmatrix}. $$
端口 4 输入、其余匹配：$a_1=a_2=a_3=0$，$a_4=1$。
$$ b_1=S_{14}a_4=0, $$
$$ b_2=S_{24}a_4=-\frac{1}{\sqrt2}, $$
$$ b_3=S_{34}a_4=\frac{1}{\sqrt2}, $$
$$ b_4=S_{44}a_4=0. $$
结果汇总§
| 端口 | 出射波 $b_i$ | 幅度 $|b_i|$ | 相位（相对 $a_4$） |
|---|---|---|---|
| 1 | $0$ | $0$ | — |
| 2 | $-1/\sqrt2$ | $1/\sqrt2\approx0.707$ | $180^\circ$ |
| 3 | $+1/\sqrt2$ | $1/\sqrt2\approx0.707$ | $0^\circ$ |
| 4 | $0$ | $0$ | 无反射（匹配输入） |
物理结论：功率从端口 4 输入后，理想情况下均分到端口 2 和 3，且两路输出等幅反相（相位差 $180^\circ$）。端口 1 与 4 无输出，体现 E-H 臂隔离特性。
功率检查（无耗）：$|b_2|^2+|b_3|^2=1/2+1/2=1=|a_4|^2$，功率守恒。
易错提醒§
- 匹配端口是 $a_i=0$，不是 $b_i=0$；输出端口可以有 $b_i\neq0$。
- 矩阵元 $S_{24}=-1/\sqrt2$ 的负号不能丢，否则相位关系错 $180^\circ$。
- 魔 T 端口编号必须跟题面一致；换编号后矩阵行列表要跟着换。