第 3 题：混合器散射矩阵分析§
对应知识点：03 · 常用微波元件 · 混合器
来源：电子板复习题 6-11
题目：某四端口混合器的散射矩阵为
$$ [S]=\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & j & 0 \\ 1 & 0 & 0 & j \\ j & 0 & 0 & 1 \\ 0 & j & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$
当 端口 1 输入信号时，分析各端口输出信号的幅度与相位。
符号约定§
- $a_1=1$，其余端口匹配：$a_2=a_3=a_4=0$。
- $j=\mathrm e^{\mathrm j\pi/2}$ 表示输出相对输入超前 $90^\circ$。
标准解答§
$$ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & j & 0 \\ 1 & 0 & 0 & j \\ j & 0 & 0 & 1 \\ 0 & j & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}. $$
逐分量：
$$ b_1=S_{11}a_1=0, $$
$$ b_2=S_{21}a_1=\frac{1}{\sqrt2}, $$
$$ b_3=S_{31}a_1=\frac{j}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\mathrm e^{\mathrm j\pi/2}, $$
$$ b_4=S_{41}a_1=0. $$
结果汇总§
| 端口 | $b_i$ | 幅度 $|b_i|$ | 相位（相对 $a_1$） |
|---|---|---|---|
| 1 | $0$ | $0$ | 无反射 |
| 2 | $1/\sqrt2$ | $1/\sqrt2$ | $0^\circ$（同相） |
| 3 | $j/\sqrt2$ | $1/\sqrt2$ | $+90^\circ$ |
| 4 | $0$ | $0$ | 隔离 |
物理结论：输入从端口 1 进入时，功率等分到端口 2 和 3，且两路输出正交（相位差 $90^\circ$）。这是 $90^\circ$ 混合器（正交耦合器）的典型 $S$ 矩阵特征，常用于平衡混频、IQ 调制等。
功率守恒：$|b_2|^2+|b_3|^2=1/2+1/2=1$。
易错提醒§
- $S_{31}=j/\sqrt2$ 不是纯虚数“只有相位没有幅度”；幅度仍是 $1/\sqrt2$。
- 不要把混合器与魔 T 矩阵混用：魔 T 端口 4 输入时端口 2、3 反相；混合器端口 1 输入时端口 2、3 正交。
- 写相位时注明参考是入射波 $a_1$。