99 · 公式与图像（第四次作业）§

考前公式卡 + 图像索引。

圆波导公式卡§

量	公式
截止波数（TM）	\(k_{\mathrm c}=\chi_{mn}/R\)
截止波数（TE）	\(k_{\mathrm c}=\chi'_{mn}/R\)
空气截止频率	\(f_{\mathrm c}=c\,k_{\mathrm c}/(2\pi)\)
介质截止频率	\(f'_{\mathrm c}=f_{\mathrm c}/\sqrt{\varepsilon_r}\)
保 \(f_{\mathrm c}\) 不变的半径缩放	\(R'=R/\sqrt{\varepsilon_r}\)
单模窗口	\(\chi'_{11}/R<k<\chi_{01}/R\)

低阶根速查（必背）：

χ'_11 = 1.841    (TE11, 主模)
χ_01  = 2.405    (TM01, 第二模)
χ'_21 = 3.054    (TE21)
χ'_01 = 3.832    (TE01)
χ_11  = 3.832    (TM11, 与 TE01 简并)

模枚举套路：算 \(kR=2\pi R/\lambda_0\)，与各根逐个比较。

量	公式
特性阻抗	\(Z_c=(60/\sqrt{\varepsilon_r})\ln(b/a)\,\Omega\)
TEM 相速	\(v_p=c/\sqrt{\varepsilon_r}\)
高阶 \(\mathrm{TE}_{11}\) 截止波长	\(\lambda_{\mathrm c}\approx\pi(a+b)\)
单模 TEM 条件	\(\lambda_0>\pi(a+b)\)（介质中）
自由空间最短波长	\(\lambda_{0,\min}=\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}\)
最高工作频率	\(f_{\max}=c/[\pi(a+b)\sqrt{\varepsilon_r}]\)

量	公式
准 TEM 传播常数	\(\beta=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}\)
准 TEM 相速	\(v_p=c/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}\)
导波波长	\(\lambda_g=\lambda_0/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}\)
填充因子	\(q=(\varepsilon_{\mathrm{eff}}-1)/(\varepsilon_r-1)\)
等效介电常数	\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}=1+q(\varepsilon_r-1)\)
Hammerstad 近似	\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\approx (\varepsilon_r+1)/2 + (\varepsilon_r-1)/(2\sqrt{1+12h/W})\)
物理边界	\(1<\varepsilon_{\mathrm{eff}}<\varepsilon_r\)

题号	图文件
第 1 题	`assets/images/gpt-hw4-lec17-q1-circular-mode-index.webp`
第 2 题	`assets/images/gpt-hw4-lec17-q2-degenerate-modes.webp`
第 3 题	`assets/images/gpt-hw4-lec17-q3-circular-single-mode.webp`
第 4 题	`assets/images/gpt-hw4-lec17-q4-circular-mode-enumeration.webp`
第 5 题	`assets/images/gpt-hw4-lec17-q5-te01-dielectric-radius.webp`
第 6 题	`assets/images/gpt-hw4-lec17-q6-circular-loss-trends.webp`
第 7 题	`assets/images/gpt-hw4-lec19-q7-coax-tem-window.webp`
第 8 题	`assets/images/gpt-hw4-lec19-q8-microstrip-quasi-tem.webp`
第 9 题	`assets/images/gpt-hw4-lec19-q9-effective-permittivity.webp`

所有图为 ChatGPT 生成示意图，主要用于解题路径辅助；如需精确电磁仿真请用 HFSS/CST。