00 · 符号与导读（第四次作业）§

本作业覆盖三类传输结构：圆波导（Lec17-18）、同轴线（Lec19）、微带线（Lec20）。本页统一符号与常量。

通用常量§

• 真空光速：\(c=3.00\times 10^8\ \mathrm{m/s}\)
• 真空波阻抗：\(\eta_0=120\pi\ \Omega\approx 377\ \Omega\)
• 工作频率 \(f\) 与空气中工作波长 \(\lambda_0=c/f\)
• 角频率 \(\omega=2\pi f\)，自由空间波数 \(k_0=\omega/c=2\pi/\lambda_0\)

圆波导§

• 内半径：\(R\)
• 柱坐标：\((r,\varphi,z)\)，\(0\le r\le R\)，\(0\le\varphi<2\pi\)，沿 \(z\) 传播。
• 模式：\(\mathrm{TE}_{mn}\)、\(\mathrm{TM}_{mn}\)（\(m\) 角向、\(n\) 径向序号）。
• 贝塞尔根：
• \(\chi_{mn}\)：\(J_m(x)=0\) 的第 \(n\) 个正根，用于 \(\mathrm{TM}_{mn}\)。
• \(\chi'_{mn}\)：\(J'_m(x)=0\) 的第 \(n\) 个正根，用于 \(\mathrm{TE}_{mn}\)。
• 截止波数：\(k_{\mathrm c}=\chi/R\) 或 \(\chi'/R\)。
• 截止频率：\(f_{\mathrm c}=c\,k_{\mathrm c}/(2\pi)\)（空气）；介质填充时除以 \(\sqrt{\varepsilon_r}\)。
• 常用低阶根：

主模：\(\mathrm{TE}_{11}\)；单模窗口：\(\chi'_{11}/R<k<\chi_{01}/R\)。

同轴线§

• 内导体外半径：\(a\)
• 外导体内半径：\(b\)（\(a<b\)）
• 主模 TEM：无截止；相速 \(v_p=c/\sqrt{\varepsilon_r}\)，与频率无关。
• 特性阻抗：

$$ Z_c=\frac{\eta_0}{2\pi\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac{b}{a}\approx\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac{b}{a}\ \Omega. $$

• 最低高阶模 \(\mathrm{TE}_{11}\) 截止波长（工程近似）：

$$ \lambda_{\mathrm c,\mathrm{TE}_{11}}\approx\pi(a+b). $$

• 单模 TEM 工作条件：\(\lambda_0>\pi(a+b)\)（介质中波长）。

微带线§

• 导体带宽：\(W\)
• 介质基片厚：\(h\)
• 介质相对介电常数：\(\varepsilon_r\)（基片），上方空气 \(\varepsilon=\varepsilon_0\)
• 主模：准 TEM（不是严格 TEM）
• 等效相对介电常数：\(\varepsilon_{\mathrm{eff}}\)，满足 \(1<\varepsilon_{\mathrm{eff}}<\varepsilon_r\)
• 定义：

$$ \beta=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}},\quad v_{\mathrm p}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}},\quad \lambda_{\mathrm g}=\frac{\lambda_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}. $$

• 填充因子 \(q\in(0,1)\)：

$$ \varepsilon_{\mathrm{eff}}=1+q(\varepsilon_r-1),\qquad q=\frac{\varepsilon_{\mathrm{eff}}-1}{\varepsilon_r-1}. $$

写作约定§

• 所有题答按"前置知识 → 分析思路 → 标准解答 → 结论与易错点"四段。
• 数值结果用 \boxed{} 包出。
• 公式条件式（如 \(\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}\)）必须写明工作介质（空气或填充介质）。
• 配图位置与文字描述一致；每题至少一张思路图或对照图。