01 · 三种波长（$\lambda_0$，$\lambda_{\mathrm c}$，$\lambda_{\mathrm g}$）§

本节你要能回答什么§

三个「波长」量纲相同，各自描述的物理对象差在哪里？
空气与介质填充时，如何把「工作波长 / 波数」改写成同一条色散链？
导行条件用介质中的 $\lambda$ 与 $\lambda_{\mathrm c}$ 怎么写？空气中 $\lambda_{\mathrm g}$ 与 $\lambda_0,\lambda_{\mathrm c}$ 的显式关系是什么？

零基础读前翻译§

这一讲的难点不是公式多，而是三个波长长得太像。先把它们当成三把尺子：

$\lambda_0$：信号在自由空间或无界介质里的波长，用来表示工作频率有多高。
$\lambda_{\mathrm c}$：某个波导模的截止门槛，由截面和模指标决定。
$\lambda_{\mathrm g}$：真正沿波导轴向看到的相位周期，由 $\beta$ 决定。

判断题目时先问：我现在是在比较“能不能传”，还是在量“沿波导方向多长重复一次”？前者看 $\lambda$ 和 $\lambda_{\mathrm c}$；后者看 $\lambda_{\mathrm g}$。

直觉：三个问题、三个尺度§

$\lambda_0$：你在多高的频率上工作？对应无界均匀介质里与 $f$ 配套的空间周期（常取空气 $\lambda_0=c/f$）。
$\lambda_{\mathrm c}$：对这一几何、这一模 $(m,n)$，临界能不能导行？只与截面与模有关，不随当前 $f$ 随意变（同一波导不同模有不同 $\lambda_{\mathrm c}$）。
$\lambda_{\mathrm g}$：已经能导行时，沿 $z$ 轴相位走 $2\pi$ 要隔多远？由 $\beta$ 决定，不是 $\lambda_0$ 在轴上的简单平移。

可以把它们理解成三张不同的尺子：$\lambda_0$ 看信号本身，$\lambda_{\mathrm c}$ 看波导门槛，$\lambda_{\mathrm g}$ 看波导轴向。题目里一旦出现“沿波导量长度”“移动短路面”“驻波间距”，优先想到 $\lambda_{\mathrm g}$，不是 $\lambda_0$。

三种波长的分工

图：$\lambda_0$ 看工作频率，$\lambda_{\mathrm c}$ 看某一模的截止门槛，$\lambda_{\mathrm g}$ 才是导行后沿波导轴向的相位周期。

三列对照：

	自由空间/工作	波导导行	截止（本征）
波数	$k=2\pi/\lambda_0$	$\beta$	$k_{\mathrm c}$
波长	$\lambda_0$	$\lambda_{\mathrm g}$	$\lambda_{\mathrm c}$
速度	$v=c$	$v_{\mathrm p}>c$，$v_{\mathrm g}<c$	—
关系	—	$k_{\mathrm c}^2=k^2-\beta^2$	$f_{\mathrm c}=c/\lambda_{\mathrm c}$

定义与符号表§

（1）工作波长 $\lambda_0$§

空气（$\varepsilon_{\mathrm r}\approx 1$）常写

$$ \lambda_0=\frac{c}{f},\qquad c\approx 3\times 10^8\,\mathrm{m/s}. $$

教材与作业中也常把无界介质中的波长记为 $\lambda$，与 $\lambda_0$ 混用——以题设为准。

介质填充（$\mu_{\mathrm r}=1$ 时常用）：$k=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}}=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$，故同一频率下

$$ \lambda=\frac{\lambda_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}}. $$

要点：$\lambda_0$（或介质中的 $\lambda=2\pi/k$）描述无界均匀介质里与频率配套的尺度；不是波导轴线上相邻等相位面间距——后者用 $\lambda_{\mathrm g}$。

（2）截止波长 $\lambda_{\mathrm c}$（某一固定 $\mathrm{TE}_{mn}$ 或 $\mathrm{TM}_{mn}$）§

与截止波数关系

$$ \lambda_{\mathrm c}=\frac{2\pi}{k_{\mathrm c}},\qquad f_{\mathrm c}=\frac{k_{\mathrm c}}{2\pi\sqrt{\mu\varepsilon}}. $$

空气近似下 $f_{\mathrm c}=c\,k_{\mathrm c}/(2\pi)$。矩形波导 $k_{\mathrm c}=\sqrt{(m\pi/a)^2+(n\pi/b)^2}$，故这里定义的 $\lambda_{\mathrm c}=2\pi/k_{\mathrm c}$ 只与 $a,b,(m,n)$ 有关。若题目讨论介质填充下的截止频率，要回到 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 去算，不要机械套空气中的 $f_{\mathrm c}$。

导行条件（无耗均匀填充，$\beta$ 为实数）：

$$ k>k_{\mathrm c} \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda<\lambda_{\mathrm c} \quad\Longleftrightarrow\quad f>f_{\mathrm c}. $$

若用空气中的自由空间波长 $\lambda_0$ 表示，并且 $\mu_{\mathrm r}=1$、均匀介质全填充，则条件可写成

$$ \frac{\lambda_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}}<\lambda_{\mathrm c} \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda_0<\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}\,\lambda_{\mathrm c}. $$

若工作介质中的 $\lambda>\lambda_{\mathrm c}$，则 $\beta$ 为虚数，场沿 $z$ 衰减，模截止。

（3）波导波长 $\lambda_{\mathrm g}$§

$$ \lambda_{\mathrm g}=\frac{2\pi}{\beta}. $$

空气、无耗下由 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$ 与 $k=2\pi/\lambda_0$ 得

$$ \beta=\frac{2\pi}{\lambda_0}\sqrt{1-\left(\frac{\lambda_0}{\lambda_{\mathrm c}}\right)^2}, \qquad \lambda_{\mathrm g}=\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-(\lambda_0/\lambda_{\mathrm c})^2}}. $$

在空气可导行区间 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$ 内，$\lambda_{\mathrm g}>\lambda_0$。近截止 $\lambda_0\to\lambda_{\mathrm c}^-$ 时 $\beta\to 0^+$，$\lambda_{\mathrm g}\to\infty$（理想无耗模型极限，能量速度等见教材）。

深入理解：三种波长其实在回答三个不同问题§

这三个波长最容易混，是因为它们量纲一样、符号也相近。但它们不是同一个物理量的三个名字，而是三个不同问题的答案。

$\lambda_0$ 回答“源发出的频率有多高”。在空气里 $\lambda_0=c/f$，所以它先描述信号本身，而不是波导内部的轴向相位。$\lambda_{\mathrm c}$ 回答“某个模的门槛在哪里”。它来自 $k_{\mathrm c}$，也就是横截面边界和模式指标给出的要求。$\lambda_{\mathrm g}$ 回答“已经导行以后，沿波导轴向相位多久重复一次”。它由 $\beta$ 决定，因此只有在 $\beta$ 是实数传播常数时才按导波波长使用。

从公式上看，三者通过同一条链连接：

$$ k=\frac{2\pi}{\lambda_0},\qquad k_{\mathrm c}=\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}},\qquad \beta=\sqrt{k^2-k_{\mathrm c}^2},\qquad \lambda_{\mathrm g}=\frac{2\pi}{\beta}. $$

所以先比较 $k$ 和 $k_{\mathrm c}$，等价于先比较 $\lambda_0$ 和 $\lambda_{\mathrm c}$；只有比较通过以后，才谈 $\lambda_{\mathrm g}$。这也是为什么截止以下不能继续说“导波波长是多少”。

跟读例子：当 $\lambda_0$ 很接近但仍小于 $\lambda_{\mathrm c}$ 时，根号里的 $1-(\lambda_0/\lambda_{\mathrm c})^2$ 很小，于是 $\lambda_{\mathrm g}$ 会变得很大。这不是说自由空间波长突然变长，而是沿轴向的相位推进变慢了；波的很多“空间变化”被横截面约束占掉，留给轴向推进的 $\beta$ 很小。

草稿纸上怎么分清三种波长§

三种波长题先在草稿纸顶部写三个名字，每个名字后面只填一个来源，避免混用：

符号	它回答什么	草稿上先写什么
$\lambda_0$	工作频率在自由空间（或给定介质）里的波长	$f$、$c$ 或 $\varepsilon_r$，得到 $\lambda_0=c/f$ 或介质波长
$\lambda_{\mathrm c}$	某个模能不能传的门槛	先定 $(m,n)$，再由几何算 $k_{\mathrm c}$，最后 $\lambda_{\mathrm c}=2\pi/k_{\mathrm c}$
$\lambda_{\mathrm g}$	已导行后沿轴相位多久重复	先确认导行，再算 $\beta$，最后 $\lambda_{\mathrm g}=2\pi/\beta$

推荐顺序永远是 先门槛、后导行：

写出本题模的 $\lambda_{\mathrm c}$（或 $k_{\mathrm c}$）。
比较 $\lambda_0$ 与 $\lambda_{\mathrm c}$（等价于比较 $k$ 与 $k_{\mathrm c}$）。
只有 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$ 时，才写 $\lambda_{\mathrm g}=\lambda_0/\sqrt{1-(\lambda_0/\lambda_{\mathrm c})^2}$ 或由 $\beta$ 计算。

两个常见失分点要写在草稿边缘提醒自己：一是把 $\lambda_0$ 当成沿波导轴画波形的间距；二是在截止以下仍对 $\lambda_{\mathrm g}$ 开实数平方根。看到根号里 $(\lambda_0/\lambda_{\mathrm c})^2\ge1$ 时，应立刻停笔改判“截止”。

推导步骤（答题顺序）§

分别定义 $\lambda_0$、$\lambda_{\mathrm c}$、$\lambda_{\mathrm g}$（各一句话 + 主公式）。
写色散 $k^2=k_{\mathrm c}^2+\beta^2$，把介质中的 $\lambda$、$\lambda_{\mathrm c}$ 换成 $k,k_{\mathrm c}$，再推出 $\lambda_{\mathrm g}$。
若有介质填充，先写 $k=k_0\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$（及 $\mu_{\mathrm r}$ 若需），结构不变。

与截止、色散、模式指标的挂钩§

$\lambda_{\mathrm c}$ 与 $(m,n)$ 绑定；比较「能不能传」时用同一模的 $\lambda_{\mathrm c}$。
轴向电长度、螺钉位置等用 $\lambda_{\mathrm g}$，见 Lec13–16 与作业附录。

易错点§

把 $\lambda_0$ 当成沿波导轴画驻波/行波的间距。
忽略导行区间条件就开方 $\lambda_{\mathrm g}$。
介质填充时仍用真空 $\lambda_0$ 代 $k$，未换 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$。

逐题反查闭环§

本页已按第三次作业解答 · Lec11-Lec12 · 三种波长反查：$\lambda_0$ 描述无界媒质中的工作波长，$\lambda_{\mathrm c}$ 描述模式截止门槛，$\lambda_{\mathrm g}$ 描述波导轴向相位周期。三者不是同一种长度的不同名字。

空气波导常用 $\lambda_{\mathrm g}=\lambda_0/\sqrt{1-(\lambda_0/\lambda_{\mathrm c})^2}$，前提是该模已导行，即 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$。若波导均匀填充介质，应先把工作波长换成介质中的波长或等效使用 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$，再和 $k_{\mathrm c}$ 比较。

作业怎么答§

三种波长题要先说明“各管各的事”：

定义 $\lambda_0$ 或介质中 $\lambda$：它由工作频率和传播介质决定。
定义 $\lambda_{\mathrm c}$：它由某一模式的 $k_{\mathrm c}$ 决定，是能否导行的门槛。
定义 $\lambda_{\mathrm g}$：它由 $\beta$ 决定，是沿波导轴向的相位周期。
判断导行时用 $\lambda<\lambda_{\mathrm c}$；已经导行后才用 $\lambda_{\mathrm g}=2\pi/\beta$。
若有介质填充，先把 $\lambda_0$ 换成介质中的 $\lambda$，或直接用 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 比较。

卷面上不要只写公式表，最好每个波长后面加一句“它量的是哪里”。

卡点急救§

卡点	可能原因	修正动作
用 $\lambda_0$ 算波导内波节间距	把工作波长当成轴向相位周期	涉及沿波导方向长度时改用 $\lambda_{\mathrm g}$
忘记先判导行就套 $\lambda_{\mathrm g}$	没检查根号前提	先写 $\lambda<\lambda_{\mathrm c}$，截止区不讨论实数导波波长
介质填充仍用空气 $\lambda_0$ 直接比较	忘了介质波数变化	先换成 $\lambda=\lambda_0/\sqrt{\varepsilon_r}$，再和几何 $\lambda_{\mathrm c}$ 比较

Mini 自检题§

Q1：$\lambda_{\mathrm g}>\lambda_0$ 是否在截止区内也成立？

答：不能这样说。截止区内 $\beta$ 不是实数传播常数，场沿 $z$ 方向衰减，一般不把 $\lambda_{\mathrm g}=2\pi/\beta$ 当作实数导行波长讨论。常见的 $\lambda_{\mathrm g}>\lambda_0$ 结论只在空气无耗且 $\lambda_0<\lambda_{\mathrm c}$ 的可导行区内使用。

Q2：同一矩形波导，$\mathrm{TE}_{10}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 的 $\lambda_{\mathrm c}$ 是否一般相同？

答：一般不同。$\lambda_{\mathrm c}=2\pi/k_{\mathrm c}$，而 $k_{\mathrm c}$ 与模指标 $(m,n)$ 和波型允许条件有关。$\mathrm{TE}_{10}$ 与 $\mathrm{TM}_{11}$ 的横截面本征值不同，所以截止波长通常不同。

Q3：题目问“短路面移动多少会重复同样输入阻抗”时，应优先用哪一个波长？

答：应优先用 $\lambda_{\mathrm g}$。输入阻抗重复描述的是沿波导轴向的相位变化，单模波导段等效成长线后周期与导波波长相关，而不是自由空间波长 $\lambda_0$。